§ 9. Динамика механических колебаний

1. Пружинный маятник

Пружинный маятник характеризуется массой груза m и жёсткостью пружины k. Обычно предполагается, что массой пружины можно пренебречь.

Далее мы докажем, что период Т колебаний пружинного маятника выражается формулой

°1. Используя последнюю формулу, докажите, что частота колебаний v пружинного маятника выражается формулой

°2. Груз пружинного маятника заменили другим грузом, масса которого в 4 раза больше. Как изменился период колебаний?

°3. Пружину маятника заменили другой пружиной, жёсткость которой в 2 раза больше. Как изменилась частота колебаний?

*Вывод формул для периода и частоты колебаний горизонтального пружинного маятника

Рассмотрим горизонтальный пружинный маятник, который представляет собой прикреплённый к лёгкой пружине груз, скользящий по гладкому стержню (рис. 9.1).

Рис. 9.1

Напомним, что слова «лёгкая пружина» и «гладкий стержень» означают, что массой пружины, а также трением между грузом и стержнем можно пренебречь.

Обозначим x смещение груза из положения равновесия, v_x — проекцию скорости груза на ось X, направленную вдоль стержня, а_х — проекцию ускорения груза на эту же ось. Используя закон Гука, получаем, что второй закон Ньютона в проекциях на ось ОХ имеет вид

mа_х = -kx. (1)

Отсюда следует, что

Проекция ускорения ax является производной по времени от проекции скорости:

а_х = v'_x,

а проекция скорости — производной по времени от смещения:

v_x = х'·

Отсюда следует, что проекция ускорения a_x — это вторая производная от смещения х:

а_х = х".

Это соотношение представляет собой дифференциальное уравнение. Покажем, что его решением является уже знакомое нам уравнение гармонических колебаний

x = x_maxcosωt. (3)

Беря первую и вторую производную от написанной функции x(t), получаем:

х' = -ωx_maxsinωt,

х" = -ω²х_mахсоsωt.

Из предыдущей формулы и формулы (3) получаем:

х" = -ω²x. (4)

A сравнивая формулы (2) и (4), мы видим, что циклическая частота колебаний ω связана с массой груза m и жёсткостью пружины k соотношением

4. Используя это соотношение, получите приведённые выше формулы для периода Т и частоты колебаний v пружинного маятника.

Наше рассмотрение показало, что

колебания являются гармоническими, то есть происходят по закону синуса или косинуса, если при отклонении тела от положения равновесия равнодействующая приложенных к телу сил прямо пропорциональна смещению тела из положения равновесия и стремится вернуть его в положение равновесия (см. уравнение (1)).

*Вертикальный пружинный маятник

Рассмотрим вертикальные колебания груза массой m, подвешенного на лёгкой пружине жёсткостью k. Обозначим х₀ удлинение пружины, при котором груз находится в положении равновесия (рис. 9.2).

Рис. 9.2

5. Докажите, что

6. Докажите, что, когда груз совершает вертикальные колебания, справедливо соотношение

mа_х = -k(x - х₀). (5)

Заметим теперь, что добавление к функции постоянной величины не изменяет производную функции, потому что производная от постоянной величины равна нулю. Поэтому

v_х = х' = (х - х₀)'.

Следовательно, можно записать также, что

a_x = (x - x₀)''. (6)

Из формул (5) и (6) получаем:

Последнее уравнение отличается от уравнения (1) только заменой переменной х → х - х₀.

Следовательно, зависимость х(t) при колебаниях груза, подвешенного на пружине, выражается формулой

x = x₀ + x_mахcosωt

с той же циклической частотой, что и для горизонтального маятника с такой же пружиной.

7. Подвешенная к пружине гиря находится в равновесии, когда удлинение пружины равно 2,5 см.

• а) Чему равен период вертикальных колебаний гири?
• б) При какой амплитуде колебаний гири пружина будет оставаться всё время растянутой?

8. Пружина жёсткостью k подвешена на нити, а к пружине подвешен шар массой m (рис. 9.3).

• а) Чему равна наибольшая возможная амплитуда гармонических колебаний шара?
• б) В какие моменты шар находится в состоянии невесомости при гармонических колебаниях с наибольшей возможной амплитудой?
• в) В каких пределах изменяется сила натяжения нити при гармонических колебаниях шара с наибольшей возможной амплитудой?

Рис. 9.3

2. Математический маятник

Математическим маятником называют модель нитяного маятника, у которого размеры груза намного меньше длины нити, нить можно считать нерастяжимой, а её массой можно пренебречь.

Колебания математического маятника называют малыми, если амплитуда колебаний намного меньше длины нити.

Далее мы докажем, что период малых колебаний математического маятника выражается формулой

где l — длина нити, g — ускорение свободного падения.

Обратите внимание: период колебаний математического маятника зависит только от длины нити и не зависит от массы груза.

°9. Колеблющийся на нити небольшой грузик проходит положение равновесия с интервалом 1 с.

• а) Чему равен период колебаний груза?
• б) Чему равна длина нити?

Эта задача подсказывает, как сделать простейший самодельный секундомер в домашних условиях. Попробуйте его сделать.

10. Космонавт высадился на Луне с двумя часами — пружинными и маятниковыми.

• а) Ход каких часов остался таким же, как на Земле?
• б) За какой промежуток времени минутная стрелка маятниковых часов совершит полный оборот?

*Вывод формул для периода и частоты колебаний математического маятника

Колеблющийся иа пити груз движется по дуге окружности. Рассмотрим момент, когда нить отклонена от вертикали на угол α (рис. 9.4).

Скорость груза в любой момент направлена по касательной к окружности. Следовательно, изменение модуля скорости обусловлено проекцией равнодействующей приложенных к грузу сил на направление касательной.

F_τ = -mgsinα.

Рис. 9.4

Знак минус в этой формуле отражает тот факт, что сила тяжести стремится вернуть тело в положение равновесия.

При малых углах α

где s — длина дуги, соответствующая углу α.

Используя второй закон Ньютона, получаем из двух последних формул для проекции ускорения на касательную:

Это уравнение означает, что при малых углах α ускорение груза прямо пропорционально его смещению из положения равновесия и направлено противоположно смещению. Как мы уже знаем, в таком случае колебания груза являются гармоническими, причём коэффициент пропорциональности между модулем ускорения и модулем смещения равен квадрату циклической частоты.

Следовательно, в данном случае

11. Используя полученную формулу, докажите, что период и частота колебаний математического маятника выражаются формулами

12. Маленький заряженный шарик с положительным зарядом q и массой m подвешен на нити длиной l. Вся система находится в однородном электростатическом поле. Модуль напряжённости поля Е, вектор напряжённости направлен вниз. Чему равен период Т малых колебаний шарика?

13. К потолку лифта подвешена пить длиной l, а к нити подвешен небольшой шарик. Чему равна частота колебаний шарика, если лифт движется с ускорением, меньшим по модулю, чем ускорение свободного падения, в следующих случаях:

• а) лифт движется вниз со скоростью, равной по модулю v, и ускорением, равным по модулю а и направленным вниз?
• б) лифт движется вниз со скоростью, равной по модулю v, и ускорением, равным по модулю а и направленным вверх?
• в) лифт движется вверх со скоростью, равной по модулю v, и ускорением, равным по модулю а и направленным вниз?
• г) лифт движется вверх со скоростью, равной по модулю v, и ускорением, равным по модулю а и направленным вверх?

14. Колеблющийся на нити заряженный шарик помещают в однородное магнитное поле. Вектор магнитной индукции поля направлен перпендикулярно плоскости колебаний шарика. Изменяется ли при этом (и если да, то как):

• а) сила натяжения нити;
• б) частота колебаний?

3. Скорость и ускорение тела при гармонических колебаниях

15. Используя производные, докажите, что если зависимость смещения тела от времени выражается формулой х = x_maxcosωt, то проекции скорости и ускорения тела выражаются следующими формулами:

v_х = -ωx_maxsinωt,

a_x = -ω²x_maxcosωt.

Итак, при гармонических колебаниях скорость и ускорение тела изменяются также по закону синуса или косинуса.

Во многих задачах требуется сравнить амплитуду колебаний тела х_mах с наибольшим значением скорости v_max или наибольшим значением ускорения тела a_mах.

16. Докажите, что при гармонических колебаниях

v_mах = ωx_mах,

a_max = ω²x_mах.

17. Амплитуда колебаний нитяного маятника равна 4 см. С какой скоростью груз проходит положение равновесия, если длина нити 70 см?

18. Колеблющийся на горизонтальной пружине груз массой 0,5 кг проходит положение равновесия со скоростью 2 м/с. Амплитуда колебаний х_mах = 5 см.

• а) Чему равна циклическая частота колебаний?
• б) Чему равна жёсткость пружины?

19. Горизонтальная пластина совершает гармонические вертикальные колебания с амплитудой 7 мм и частотой 4 Гц. На пластине находится брусок массой 2 кг.

• а) Каково наибольшее значение модуля ускорения пластинки?
• б) Чему равны наибольшее и наименьшее значения веса бруска?
• в) При какой амплитуде колебаний пластинки груз будет отрываться от неё во время колебаний, если частота колебаний останется прежней?

ЧТО МЫ УЗНАЛИ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ1)

Базовый уровень

20. Пружинный маятник совершает колебания с периодом 0,4 с. Чему будет равен период колебаний, если массу груза увеличить в 2 раза, а пружину заменить другой, жёсткость которой в 2 раза меньше?

21. Чему равна жёсткость пружины, если прикреплённый к ней груз массой 200 г совершает 10 колебаний за 5 с?

22. Груз какой массы надо подвесить к пружине жёсткостью 100 Н/м, чтобы этот пружинный маятник совершал колебания с частотой 2 Гц?

23. Как изменится период колебаний нитяного маятника, если:

• а) длину нити увеличить в 4 раза;
• б) массу груза увеличить в 2 раза?

24. Какова длина нити нитяного маятника, который совершал бы на Луне колебания с периодом 5 с? Ускорение свободного падения на Луне равно 1,6 м/с².

25. Уравнение гармонических колебаний материальной точки в единицах СИ имеет вид х = 0,04cos2πt. Запишите формулы зависимости проекции скорости тела от времени и проекции ускорения материальной точки от времени.

26. Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси х. Проекция её скорости на ось х в единицах СИ изменяется по закону v_x = 0,6соs3пt. Чему равны амплитуда скорости, частота и период колебаний?

¹⁾ В задачах к этому параграфу колебания подвешенного на нити груза предполагаются малыми, если иное не оговорено.

Повышенный уровень

27. Период колебаний пружинного маятника равен 0,5 с. Подберите два возможных варианта значений массы груза и жёсткости пружины этого маятника.

28. Медный и алюминиевый шары одинакового объёма совершают вертикальные колебания, будучи подвешены к одинаковым пружинам.

• а) Период колебаний какого шара больше?
• б) Во сколько раз различаются периоды колебаний шаров?

29. Подвешенный к пружине медный шар совершает вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если:

• а) данную пружину заменить половиной такой же пружины;
• б) данную пружину разрезать на три равные части и соединить их параллельно?

30. На некоторой планете небольшой груз, подвешенный на нити длиной 25 см, совершает за минуту 30 колебаний. Чему равно ускорение свободного падения на этой планете?

31. Период колебаний пружинного маятника равен 0,4 с. Подберите два возможных варианта значений массы груза и жёсткости пружины этого маятника.

32. Частота колебаний шарика, подвешенного на нити длиной 15 см, в 2 раза больше частоты колебаний груза, подвешенного на пружине жёсткостью 50 Н/м. Чему равна масса груза?

Высокий уровень

33. В таблице представлены значения координаты шара массой 500 г, подвешенного на пружине, через равные промежутки времени.

t, с	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7
х, см	8	5,66	0	-5,66	-8	-5,66	0	5,66

• а) С какой скоростью шар проходит положение равновесия?
• б) Чему равна жёсткость пружины?

34. На горизонтальной пластине, совершающей гармонические горизонтальные колебания с периодом 0,9 с, лежит груз. Коэффициент трения между грузом и пластиной равен 0,4.

• а) При каком максимальном значении ускорения пластины груз будет оставаться в покое относительно пластины?
• б) При какой амплитуде колебаний пластины груз будет скользить по пластине?

35. Нитяной маятник длиной l₁ = 10 см совершает малые колебания вдоль стены, в которую на расстоянии l₂ = 6,4 см от точки подвеса на одной вертикали с ней вбит гвоздь (рис. 9.5). Чему равен период колебаний маятника?

36. Первый нитяной маятник совершает за одну минуту 20 колебаний, а второй — 30 колебаний. Чему равна частота колебаний третьего маятника, если длина его нити равна разности длин нитей первого и второго маятников?

Рис. 9.5