Колебания и волны

Замечательное общее свойство механических и электромагнитных колебаний, имеющих различную физическую природу, состоит в том, что они описываются одинаковыми уравнениями.

Механические колебания порождают механические волны, которые распространяются в материальной среде, а электромагнитные колебания порождают электромагнитные волны, которые могут распространяться и в вакууме.

Глава III. Колебания

§ 8. Свободные механические колебания

1. Условия существования свободных колебаний

Механические колебания вы уже изучали в основной школе. Напомним, что

механическими колебаниями называют периодическое или почти периодическое движение тела.

Поставим опыты

На рисунке 8.1 изображены различные положения нитяного маятника — подвешенного на нити колеблющегося груза.

Рис. 8.1

Обратите внимание: при колебаниях груз отклоняется то в одну, то в другую сторону от положения устойчивого равновесия. Рисунки, на которых показано устойчивое положение груза, обведены рамками.

Подвешенный на пружине груз {пружинный маятник) также колеблется около положения устойчивого равновесия, совершая вертикальные колебания (рис. 8.2). Рисунки, на которых показано устойчивое положение груза, обведены рамками.

Рис. 8.2

Колебания груза маятников обусловлены тем, что при отклонении от положения устойчивого равновесия равнодействующая приложенных к грузу сил стремится вернуть его в положение равновесия.

°1. Какие силы действуют на груз, подвешенный на нити? Сделайте рисунок, поясняющий, почему при отклонении груза от положения равновесия равнодействующая приложенных к нему сил стремится вернуть груз в положение равновесия.

°2. Какие силы действуют на груз, подвешенный на пружине? Сделайте рисунок, поясняющий, почему при отклонении груза от положения равновесия равнодействующая приложенных к нему сил стремится вернуть груз в положение равновесия.

В рассмотренных примерах грузы возвращаются в положение равновесия под действием сил, действующих между телами системы¹⁾.

Силы, действующие между телами системы, называют внутренними, а колебания, происходящие под действием внутренних сил системы, называют свободными или собственными. Рассмотренные примеры показывают, что

свободные колебания могут происходить в системе тел, когда она находится вблизи положения устойчивого равновесия. Свободные колебания обусловлены тем, что при отклонении тел от положения устойчивого равновесия возникают силы, которые стремятся вернуть тела в положение равновесия. Такие силы называют возвращающими.

Итак, первым условием существования свободных колебаний является наличие возвращающей силы.

Если повторить опыты с нитяным и пружинным маятниками, погрузив их в воду, то мы обнаружим, что колебания очень быстро затухают. Причиной быстрого затухания колебаний является сопротивление среды (воды).

¹⁾ В число этих тел в рассмотренных примерах входит и Земля, потому что на груз действует сила тяжести.

Свободные колебания быстро затухают также при наличии значительных сил трения скольжения. Итак,

чтобы свободные колебания продолжались длительное время, силы трения скольжения или силы сопротивления в системе должны быть достаточно малыми.

Это — второе условие существования свободных колебаний.

°3. Если нажать сверху вниз на плавающий в воде деревянный брусок, а потом отпустить его, то он начнёт совершать вертикальные колебания. Сделайте в тетради рисунок, поясняющий, равнодействующая каких сил стремится вернуть брусок в положение устойчивого равновесия.

2. Основные характеристики колебаний

Будем обозначать х смещение колеблющегося тела от его положения равновесия. Поскольку тело смещается от положения равновесия то в одну, то в другую сторону, в процессе колебаний величина х принимает то положительные, то отрицательные значения.

Модуль наибольшего смещения от положения равновесия называют амплитудой колебаний.

Будем обозначать амплитуду колебаний х_mах.

Промежуток времени, в течение которого происходит одно колебание, называют периодом колебаний Т.

В СИ период измеряют в секундах.

Одно полное колебание происходит, например, когда тело, начав движение из одного крайнего положения, возвращается в то же самое крайнее положение.

°4. Рассмотрите снова рисунки 8.1 и 8.2.

• а) Какими буквами обозначены положения грузов, между которыми происходит одно полное колебание?
• б) Какими буквами обозначены положения грузов, разделённые во времени половиной периода колебаний?

°5. Сколько раз груз проходит через положение равновесия за промежуток времени, равный одному периоду колебаний, если в начальный момент груз не находился в положении равновесия?

°6. Какая часть периода колебаний проходит между двумя последовательными прохождениями грузом положения равновесия?

°7. Чем отличаются состояния колеблющегося тела при двух последовательных прохождениях положения равновесия?

°8. Амплитуда вертикальных колебаний груза на пружине равна 2 см. В начальный момент груз находится в одном из крайних положений. Какой путь проходит груз: за один период колебаний; за три периода колебаний?

Число колебаний за одну секунду называют частотой колебаний v.

°9. Чему равна частота колебаний, если период колебаний равен: 1 с; 0,5 с; 2 с?

°10. Докажите, что частота и период колебаний связаны соотношением

°11. Подвешенный на пружине груз совершает колебания с амплитудой 2 см и частотой 5 Гц.

• а) Чему равен период колебаний?
• б) Чему равен путь, который проходит груз за 1 мин?
• в) Сколько раз груз проходит через положение равновесия за 1 мин?

3. Гармонические колебания

Поставим опыт

На рисунке 8.3 изображен опыт, в котором колеблющийся груз (конический сосуд, из которого высыпается песок) сам «рисует» график зависимости своей координаты от времени при равномерном перемещении листа картона или пластика под грузом.

Опыт показывает, что этот график похож на синусоиду или косинусоиду.

Колебания, при которых смещение тела от положения равновесия изменяется по закону синуса (или косинуса), называют гармоническими.

Рис. 8.3

¹⁾ Единица измерения частоты названа в честь немецкого физика Г. Герца.

Уравнение гармонических колебаний

Пусть в начальный момент смещение колеблющегося тела от положения равновесия максимально и положительно. В таком случае уравнение гармонических колебаний имеет вид

X = x_maxcosωt.

°12. Выясним, как связаны величины, входящие в формулу х = x_maxcosωt, с основными характеристиками колебаний.

• а) Какой величине соответствует амплитуда колебаний?
• б) Выразите период колебаний Т через циклическую частоту ω.
• в) Выразите циклическую частоту ω через частоту колебаний ν.

°13. Уравнение гармонических колебаний в единицах СИ имеет вид х =0,05cos10t.

• а) Чему равна амплитуда колебаний?
• б) Чему равна циклическая частота колебаний?
• в) Чему равна частота колебаний?
• г) Чему равен период колебаний?
• д) Чему равно смещение тела через половину периода после начального момента времени?
• e) Чему равно смещение тела через четверть периода после начального момента времени?

°14. На рисунке 8.4 изображён график гармонических колебаний.

• а) Перенесите рисунок в тетрадь. Обозначьте на нём амплитуду и период колебаний.
• б) Отметьте красным цветом любые две точки на оси времени, разделённые промежутком, равным половине периода колебаний.
• в) Отметьте синим цветом любые две точки на оси времени, разделённые промежутком, равным четверти периода колебаний.
• г) Обведите красным цветом любой участок графика, соответствующий положительному значению смещения от положения равновесия.
• д) Обведите синим цветом любой участок графика, соответствующий отрицательному значению смещения от положения равновесия.

15. Изобразите в тетради графики двух гармонических колебаний с одинаковой амплитудой, по разными периодами.

Рис. 8.4

°16. Изобразите в тетради графики двух гармонических колебаний с разными амплитудами, но одинаковой частотой.

17. Чему равны амплитуда, период, частота и циклическая частота колебаний, графики которых изображены на рисунке 8.5? Запишите уравнение каждого колебания в единицах СИ.

Рис. 8.5

18. Два маятника за один и тот же промежуток времени совершили целое число колебаний каждый. Груз первого маятника прошел путь 15 м, а груз второго — 5 м. Чем различаются колебания маятников, если периоды их колебаний равны?

19. Два маятника за один и тот же промежуток времени совершили целое число колебаний каждый. Груз первого маятника прошел путь 8 м, а груз второго — 12 м. Чем различаются колебания маятников, если амплитуды их колебаний равны?

Гармонические колебания и равномерное движение по окружности

Поставим опыты

Будем наблюдать за тенью шарика, равномерно движущегося по окружности (рис. 8.6).

Мы увидим, что тень шарика совершает на экране колебания. Выясним: являются ли они гармоническими?

Направим ось ОХ горизонтально параллельно экрану. Тогда координата х шарика совпадает с координатой тени на экране при освещении параллельным пучком горизонтальных лучей, перпендикулярных экрану.

Рис. 8.6

Обозначим r радиус окружности, по которой равномерно движется шарик, а угловую скорость шарика обозначим ω. Из определения угловой скорости следует, что за промежуток времени t радиус, проведённый из центра окружности к шарику, повернётся на угол ωt (рис. 8.7).

Рис. 8.7

20. Докажите, что зависимость координаты х шарика от времени выражается формулой

X = rcosωt.

21. Сравните полученную формулу с уравнением гармонических колебаний. Какие выводы можно сделать из этого сравнения?

*Фаза колебаний

В общем случае уравнение гармонических колебаний имеет вид

х = x_maxcos(ωt + φ₀).

Выражение, стоящее в этой формуле под знаком косинуса, называют фазой колебаний и обозначают φ, а величину φ₀ называют начальной фазой. Начальная фаза колебаний должна быть меньше по модулю, чем 2π. Фазу колебаний измеряют в радианах.

22. Используя соотношение между циклической частотой и периодом колебаний, докажите, что за промежуток времени, равный одному периоду колебаний, фаза колебаний изменяется на 2π.

Говорят, что между двумя колебаниями, происходящими с одной частотой, есть сдвиг фаз, если эти колебания различаются значениями начальной фазы. Если сдвиг фаз между колебаниями двух тел равен π, то говорят, что эти тела колеблются в противофазе.

23. Докажите, что если два тела колеблются в противофазе с одинаковыми амплитудами, то смещения этих тел в любой момент равны по модулю, но имеют противоположные знаки.

ЧТО МЫ УЗНАЛИ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Базовый уровень

24. Чему равны период и частота колебаний маятника, совершающего 20 колебаний за 25 с?

25. В таблице представлены значения координаты тела, колеблющегося вдоль оси х, в различные моменты времени. Чему равны амплитуда и период колебаний?

t, с	0	0,5	1,0	1,5	2	2,5	3,0	3,5
x, мм	0	8,5	12	8,5	0	-8,5	-12	-8,5

26. Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой 1 мм и частотой 1 кГц. Найдите путь, пройденный этой точкой за 1 с.

27. Подвешенный на нити груз колеблется с периодом 4 с и амплитудой 2 см. В начальный момент скорость груза равна пулю. Чему равен путь, пройденный грузом за 5 с после начального момента?

29. На рисунке 8.8 изображён график зависимости смещения от времени для тела, совершающего гармонические колебания. Чему равны амплитуда, период и частота колебаний тела? Запишите уравнение гармонических колебаний в единицах СИ.

Рис. 8.8

Повышенный уровень

30. В начальный момент скорость груза пружинного маятника равна нулю. Чему равен период колебаний маятника, если за 5 с груз проходит путь, в 5 раз больший амплитуды колебаний?

31. Уравнение гармонических колебаний материальной точки в единицах СИ имеет вид х = 0,04sin4πt. Какой путь пройдёт точка за 1 мин?

32. Напишите уравнение гармонических колебаний груза на пружине, если частота колебаний равна 5 Гц, в начальный момент скорость груза равна пулю, а его смещение от положения равновесия равно 3 см.

Рис. 8.9

33. По графикам зависимости смещения от времени для двух тел, совершающих гармонические колебания (рис. 8.9), определите:

• а) амплитуда колебаний какого тела больше, и во сколько раз;
• б) период колебаний какого тела больше, и во сколько раз.

34. Уравнение гармонических колебаний тела в единицах СИ имеет вид х = 0,02cos0,5пt. Через какой наименьший промежуток времени после начального момента координата тела будет равна: 0; -2 см?

Высокий уровень

36. Материальная точка совершает гармонические колебания с периодом 1,2 с. Чему равно смещение точки через 0,2 с после прохождения положения равновесия, если амплитуда колебаний равна 6 см?

37. От положения равновесия до максимального смещения тело, совершающее гармонические колебания, движется в одном направлении в течение 3 с. За какой промежуток времени это тело проходит расстояние, равное половине амплитуды колебаний, если в начальный момент смещение тела равно пулю?

38. Подвешенный на пружине груз приподняли и отпустили без толчка. За какую долю периода колебаний он пройдёт: первую половину пути до положения равновесия; вторую половину пути?