§ 6. Закон электромагнитной индукции

1. ЭДС индукции

Вы уже знаете, что при изменении магнитного потока через замкнутый проводящий контур в нём возникает индукционный ток. С другой стороны, вам известно также, что ток в замкнутой цепи может идти только при условии, что в ней есть источник тока, в котором действуют сторонние силы, имеющие неэлектростатическую природу и характеризующиеся электродвижущей силой (ЭДС).

Электродвижущую силу, являющуюся причиной индукционного тока, называют ЭДС индукции.

Какова природа сторонних сил, порождающих индукционный ток?

ЭДС индукции в движущемся проводнике

°1. Металлический стержень перемещают в магнитном поле по П-образным металлическим направляющим (рис. 6.1).

• а) Как направлена сила Лоренца, действующая на свободные электроны в стержне?
• б) Как направлен индукционный ток в стержне? Согласуется ли ваш ответ на этот вопрос с правилом Ленца?

На примере этой задачи мы видим, что если индукционный ток обусловлен движением проводника в магнитном поле, то причиной возникновения ЭДС индукции являются силы Лоренца, действующие на свободные заряды в проводнике.

Рис. 6.1

ЭДС индукции в покоящемся проводнике, находящемся в переменном магнитном поле

°2. К замкнутому закреплённому металлическому кольцу приближают полосовой магнит (рис. 6.2).

• а) Возникает ли в кольце индукционный ток? Обоснуйте свой ответ.
• б) Может ли причиной возникновения индукционного тока быть сила Лоренца, действующая на свободные заряды в кольце? Обоснуйте свой ответ.

Рис. 6.2

Чтобы объяснить возникновение индукционного тока в неподвижном проводящем контуре при изменении магнитного потока через этот контур, английский учёный Дж. Максвелл предположил, что переменное во времени магнитное поле порождает вихревое электрическое поле. Это предположение было подтверждено на опыте.

Главное отличие вихревого электрического поля от электростатического поля (создаваемого покоящимися электрическими зарядами) состоит в том, что линии напряжённости вихревого электрического поля замкнуты (подобно магнитным линиям).

Продолжим исследование описанной в условии задачи ситуации: найдём направление линий напряжённости вихревого электрического поля, используя правило Ленца.

• в) Как изменяется внешний магнитный поток через кольцо при приближении магнита — увеличивается или уменьшается?
• г) Как направлен внутри кольца вектор магнитной индукции поля, созданного индукционным током в кольце?
• д) Как направлен индукционный ток в ближней к нам части кольца — вверх или вниз?
• е) Как направлены линии напряжённости вихревого электрического поля внутри металла кольца (они практически совпадают с линиями напряжённости электрического вихревого поля вблизи кольца)?

В данном случае сторонние силы действуют на свободные заряды во всех точках металлического кольца, потому что всё кольцо находится в области пространства, в котором существует вихревое электрическое поле. В данном случае причиной возникновения ЭДС индукции является вихревое электрическое поле. Оно возникает в пространстве при изменении во времени магнитного поля независимо от того, находится в этом месте пространства замкнутый проводящий контур или нет.

Если в том месте пространства, где есть вихревое электрическое поле, находится проводящий замкнутый контур, то в нём возникает индукционный ток.

2. Закон электромагнитной индукции

Обобщив все случаи возникновения индукционного тока, Фарадей установил закономерность, которую формулируют как

закон электромагнитной индукции: ЭДС индукции в замкнутом контуре выражается формулой

где ΔΦ — изменение магнитного потока через контур за промежуток времени Δt.

Знак минус в последней формуле обусловлен правилом Ленца. При решении задач удобнее использовать формулу, связывающую модули ЭДС индукции и скорости изменения магнитного потока:

а направление индукционного тока находить по правилу Ленца.

Зная ЭДС индукции, можно найти силу индукционного тока, используя закон Ома для полной цепи:

где R — внешнее сопротивление цепи, r — внутреннее сопротивление источника. Рассмотрим пример.

°3. В однородном магнитном поле находится квадратная проволочная рамка со стороной 10 см. Сопротивление рамки 0,2 Ом, плоскость рамки перпендикулярна вектору магнитной индукции. За 5 с магнитная индукция внешнего поля равномерно увеличилась от 0,5 Тл до 2,5 Тл.

• а) Насколько увеличился магнитный поток через рамку за 5 с?
• б) Чему равен модуль ЭДС индукции?
• в) Чему равна сила индукционного тока в рамке?

Похожая задача

4. Металлический стержень (рис. 6.1) перемещают со скоростью, равной по модулю v, в указанном стрелкой направлении по П-образным металлическим направляющим, находящимся в однородном магнитном поле с индукцией, равной по модулю В. Расстояние между направляющими равно l. Сопротивление стержня равно r, сопротивлением направляющих можно пренебречь.

• а) Обозначьте Δx расстояние, проходимое стержнем за промежуток времени Δt, и выразите через В, l, Δx и Δt модуль изменения магнитного потока через замкнутый контур, образованный стержнем и направляющими, за промежуток времени Δt.
• б) Выразите ЭДС индукции в указанном замкнутом контуре через заданные в условии величины.
• в) Выразите силу индукционного тока в указанном замкнутом контуре через заданные в условии величины.

5. В замкнутом контуре течёт индукционный ток. Обозначим Δq заряд, который прошёл через поперечное сечение контура при изменении пронизывающего этот контур магнитного потока на ΔΦ, а полное сопротивление контура обозначим R. Используя закон электромагнитной индукции и закон Ома для полной цепи, докажите, что

°6. Круглая проволочная рамка диаметром 10 см и сопротивлением 0,4 Ом находится в однородном магнитном поле с индукцией 0,5 Тл. Плоскость рамки горизонтальна, а вектор магнитной индукции направлен вертикально вверх. Чему равен заряд, который проходит по рамке при её повороте на 90° вокруг оси, проходящей через центр рамки и лежащей в её плоскости?

3. Напряжение на концах проводника, движущегося в магнитном поле

Покажем, что на концах проводника, движущегося в магнитном поле, возникает разность потенциалов (напряжение).

Рис. 6.3

На свободные заряды (свободные электроны) в стержне действует сила Лоренца, под действием которой произойдёт перераспределение зарядов: на одном конце стержня возникнет положительный электрический заряд, а на противоположном — такой же по модулю, по отрицательный. В результате в стержне возникнет электрическое поле. Обозначим Е модуль напряжённости этого поля.

F_э = F_Л.

Подставляя в эту формулу F_э = qE, F_Л = Bqv, находим:

Е = Вv.

Напряжение U на концах стержня длиной l связано с напряжённостью поля Е в стержне соотношением

U = Еl.

Из двух последних формул получаем:

U = Bvl.

Если скорость стержня направлена под углом α к вектору магнитной индукции, то модуль силы Лоренца выражается формулой

F_Л = Bqvsinα, поэтому в общем случае напряжение на концах стержня выражается формулой

U = Вvlsinα.

°7. С какой скоростью должен двигаться металлический стержень длиной 50 см в однородном магнитном поле с индукцией 1 Тл, чтобы на его концах возникло напряжение 2 В? Скорость стержня перпендикулярна стержню и вектору магнитной индукции. Поскольку на концах проводника, движущегося в магнитном поле, возникает напряжение, этот проводник можно рассматривать как источник тока.

Как мы уже знаем, ЭДС источника тока равна напряжению на клеммах разомкнутого источника. А рассматриваемый изолированный стержень как раз и является источником тока с разомкнутыми клеммами. Следовательно, ЭДС индукции E_i связана с напряжением на концах проводника соотношением

E_i = U.

Используя полученную выше формулу для U, получаем, что

Покажем, что такое же выражение для ЭДС индукции в движущемся проводнике можно получить, используя закон электромагнитной индукции.

E_i = Bvl.

Рис. 6.4

В ситуации, рассмотренной в предыдущей задаче, сторонние силы действуют только внутри движущегося стержня, поэтому полученное выражение представляет собой ЭДС индукции на концах стержня, когда его скорость перпендикулярна вектору магнитной индукции.

*4. Исследование более сложных ситуаций

9. Металлический стержень перемещают с постоянной скоростью, равной по модулю v, по гладким горизонтальным проводящим направляющим, прикладывая горизонтально направленную перпендикулярную стержню силу (рис. 6.5). Расстояние между направляющими равно l, направляющие соединены через резистор сопротивлением R. Сопротивлением стержня и направляющих можно пренебречь. Вся система находится в однородном магнитном поле, модуль магнитной индукции которого равен В. Выразите через величины, заданные в условии:

• а) ЭДС индукции;
• б) силу индукционного тока;
• в) мощность P₁ тока в резисторе;
• г) модуль F_A действующей на стержень силы Ампера;
• д) модуль F внешней силы, приложенной к стержню;
• е) мощность Р₂, развиваемую этой силой.

Какой вывод следует из сравнения ответов на вопросы в) и e)?

Рис. 6.5

Похожая задача

10. По гладким длинным вертикальным металлическим направляющим, расстояние между которыми равно l, может скользить горизонтальный металлический стержень массой т (рис. 6.6). Система находится в однородном магнитном поле с индукцией, равной по модулю В, вектор магнитной индукции направлен горизонтально перпендикулярно стержню. Направляющие соединены через резистор сопротивлением R. Сопротивлением стержня и направляющих можно пренебречь. Через некоторое время после того, как стержень отпускают, он движется практически с постоянной скоростью.

• а) При каком условии стержень движется равномерно?
• б) Какая сила уравновешивает силу тяжести?
• в) Почему на стержень действует сила Ампера?
• г) Выразите силу Ампера через модуль скорости стержня v и величины, данные в условии.
• д) Выразите модуль скорости стержня v через величины, данные в условии.

Рис. 6.6

• e) Выразите мощность тока в резисторе через величины, данные в условии.
• ж) Запишите выражение для работы тока A₁ в резисторе за время t.
• з) Запишите выражение для работы силы тяжести A₂ за то же время.
• и) Чем обусловлено совпадение выражений для работы тока в резисторе и работы силы тяжести?

ЧТО МЫ УЗНАЛИ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Базовый уровень

11. Металлический стержень скользит по горизонтальным П-образным металлическим рельсам в однородном магнитном поле (рис. 6.7). Перенесите рисунок в тетрадь и укажите на нём:

• а) направление силы Лоренца, действующей на свободные заряды в стержне;
• б) направление индукционного тока в стержне.

12. Полосовой магнит удаляется от металлического кольца (рис. 6.8). Перенесите рисунок в тетрадь и укажите на нём, как направлены линии напряжённости вихревого электрического поля вблизи кольца.

13. В однородном магнитном поле находится металлическая проволочная рамка сопротивлением 0,3 Ом. Магнитный поток, пронизывающий рамку, за 2 с равномерно увеличивается от 2 мВб до 5 мВб.

• а) Чему равен модуль ЭДС индукции в рамке?
• б) Чему равна сила тока в рамке?

Рис. 6.7

Рис. 6.8

14. По графику зависимости от времени магнитного потока через замкнутый контур сопротивлением 2 Ом (рис. 6.9) определите:

• а) в каком промежутке времени модуль ЭДС индукции максимален;
• б) в каком промежутке времени индукционный ток в контуре отсутствует;
• в) чему равен модуль ЭДС индукции при t = 4 с;
• г) чему равна сила тока в контуре при t = 4 с.

15. Чему равна ЭДС индукции в катушке, содержащей 500 витков, если магнитный поток через один виток убывает со скоростью 40 мВб/с?

Рис. 6.9

Повышенный уровень

16. Замкнутый проволочный виток площадью 20 см² расположен в однородном магнитном поле с индукцией 20 мТл, причём линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости витка. Какой заряд проходит по витку при выключении магнитного поля, если сопротивление витка 0,2 Ом?

17. Замкнутая проволочная прямоугольная рамка площадью 20 дм² расположена в однородном магнитном поле, магнитные линии которого перпендикулярны плоскости рамки. При повороте рамки вокруг eё стороны на 90° по рамке проходит заряд, равный 80 мКл. Чему равно сопротивление рамки, если модуль вектора магнитной индукции равен 0,4 Тл?

18. Квадратная замкнутая проволочная рамка со стороной 20 см и сопротивлением 0,03 Ом расположена в однородном магнитном поле, магнитные линии которого перпендикулярны плоскости рамки. Модуль магнитной индукции уменьшается со скоростью 0,6 Тл/с. Какое количество теплоты выделится в рамке за 2 с?

19. На концах проводника длиной 2 м, движущегося со скоростью 5 м/с в однородном магнитном поле перпендикулярно линиям магнитной индукции, возникает напряжение, равное 0,02 В. Чему равен модуль магнитной индукции?

20. Самолёт с размахом крыльев 30 м летит горизонтально со скоростью 900 км/ч в местности, где горизонтальная составляющая магнитной индукции поля Земли равна 0,03 мТл, а вертикальная составляющая равна 0,04 мТл. Чему равна максимально возможная разность потенциалов между концами крыльев?

Высокий уровень

21. На рисунке 6.10, а изображён полосовой магнит, который начинает свободно падать из состояния покоя и пролетает сквозь закреплённое замкнутое проволочное кольцо. На рисунке 6.10, б приведён график зависимости силы индукционного тока в кольце от времени (силу переменного тока обозначают маленькой буквой i, разным знакам силы тока соответствуют противоположные направления тока). Объясните, почему индукционный ток в кольце изменяет направление.

Рис. 6.10

22. В электрическую цепь включена проволочная катушка, находящаяся на одном стальном сердечнике с катушкой, замкнутой на чувствительный вольтметр (рис. 6.11). Как изменяются показания обоих приборов при перемещении ползунка реостата вправо?

Рис. 6.11

23. В однородном магнитном поле с индукцией 0,5 Тл равноускоренно из состояния покоя движется проводник длиной 2 м (рис. 6.12). Магнитная индукция перпендикулярна проводнику и его скорости. В момент, когда перемещение проводника равно 4 м, напряжение на его концах равно 4 В. Чему равно ускорение проводника?

Рис. 6.12

24. По горизонтальным параллельным рельсам, находящимся на расстоянии 50 см друг от друга в однородном магнитном поле с индукцией 0,3 Тл, движутся две перемычки со скоростью 2 м/с каждая (рис. 6.13). Чему равна сила тока в цепи, если сопротивление каждой перемычки равно 3 Ом, а сопротивлением рельсов и контактов можно пренебречь?

Рис. 6.13

25. По гладким длинным вертикальным металлическим направляющим, расстояние между которыми равно l, может скользить горизонтальный металлический стержень массой m (рис. 6.14). Система находится в однородном магнитном поле с модулем индукции В. Направляющие соединены через конденсатор электроёмкостью С. Сопротивлением стержня и направляющих можно пренебречь. Стержень отпускают без толчка.

• а) Может ли стержень оставаться в покос?
• б) Обозначьте а и I модуль ускорения стержня и силу тока в стержне в некоторый момент времени после отпускания стержня. Запишите уравнение второго закона Ньютона для стержня в проекции на ось координат, направленную вертикально вниз.
• в) Обозначьте v и q модуль скорости стержня и заряд конденсатора в тот же момент времени. Запишите соотношение, связывающее эти величины с величинами, заданными в условии.
• г) Продифференцируйте полученное соотношение по времени, чтобы получить соотношение между a, I и величинами, заданными в условии.
• д) Запишите систему двух уравнений для двух неизвестных: а и I.
• е) Решив полученную систему уравнений, запишите выражения для а иI через величины, заданные в условии.

Рис. 6.14