§ 4. Сила Лоренца

1. Модуль силы Лоренца

Действие силы Ампера на проводник с током в магнитном поле обусловлено действием магнитного поля на движущиеся свободные заряды в проводнике.

Используя формулу для силы Ампера, можно доказать, что

модуль силы Лоренца, действующей на частицу с зарядом q, движущуюся со скоростью, равной по модулю v, выражается формулой

F_л = Bqvsinα,

где В — модуль магнитной индукции, а — угол между направлением скорости частицы и вектором магнитной индукции.

* Вывод формулы для силы Лоренца

Напомним, что модуль силы Ампера, действующей на проводник с током в магнитном поле, выражается формулой

F_А = BIlsinα,

где В — модуль магнитной индукции, I — сила тока в проводнике, l — длина проводника, α — угол между проводником и вектором магнитной индукции.

Сила Ампера — это результат действия силы Лоренца на носители заряда. Обозначим q заряд одного из них, а N — их число в данном проводнике. Тогда

F_A = NF_Л.

Из двух последних формул получаем:

Из определения силы тока следует, что

где Q — заряд, который проходит через поперечное сечение проводника за промежуток времени t.

Обозначим v модуль средней скорости направленного равномерного движения свободных зарядов и возьмём в качестве t промежуток времени, за который все содержащиеся в данном проводнике свободные заряды проходят через его поперечное сечение. Тогда

1. Используя написанные выше выражения для F_Л, I, t и Q, докажите, что F_Л = Bqvsinα.

°2. В каком случае сила Лоренца, действующая на движущуюся заряженную частицу в магнитном поле, равна нулю?

Интересно сравнить силу Лоренца, действующую на заряженную частицу в магнитном поле Земли, с силой тяжести, действующей на ту же частицу.

°3. Магнитная индукция магнитного поля Земли в средних широтах составляет примерно 5 • 10^-5 Тл. Чему равно отношение модуля силы Лоренца к модулю силы тяжести для электрона, движущегося перпендикулярно вектору магнитной индукции со скоростью 10 км/с?

2. Направление силы Лоренца

Скорость частицы перпендикулярна вектору магнитной индукции

Направление силы Лоренца для движущихся положительно заряженных частиц определяют тоже с помощью правила левой руки.

Если левую руку расположить так, чтобы вектор магнитной индукции входил в ладонь, а четыре вытянутых пальца указывали направление скорости положительно заряженной частицы, то отогнутый на 90° в плоскости ладони большой палец покажет направление силы, действующей на эту частицу (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Обратите внимание: действующая на движущуюся заряженную частицу сила Лоренца перпендикулярна как скорости частицы, так и вектору магнитной индукции поля, в котором движется частица.

Сила Лоренца, действующая на движущуюся отрицательно заряженную частицу, направлена противоположно силе, которая действовала бы на положительно заряженную частицу, движущуюся в том же поле с той же скоростью.

°4. Перенесите рисунки 4.2, а—в в тетрадь и добавьте недостающие обозначения.

Рис. 4.2

*Скорость частицы составляет произвольный угол с вектором магнитной индукции

В таком случае направление силы Лоренца, действующей в магнитном поле на движущуюся положительно заряженную частицу, также можно найти с помощью правила левой руки. При этом поступаем аналогично тому, как мы поступали, находя в подобном случае направление силы Ампера:

Тогда отогнутый на 90° в плоскости ладони большой палец покажет направление силы Лоренца, действующей на движущуюся положительно заряженную частицу (рис. 4.3).

Рис. 4.3

Сила Лоренца, действующая на движущуюся отрицательно заряженную частицу, направлена противоположно силе, которая действовала бы на положительно заряженную частицу, движущуюся в том же поле с той же скоростью.

Обратите внимание: если сила Лоренца не равна нулю, то она перпендикулярна как скорости частицы, так и вектору магнитной индукции. Кстати, в каком случае сила Лоренца равна нулю?

5. Магнитные линии и скорость заряженной частицы (рис. 4.4) лежат в плоскости рисунка.

Рис. 4.4

3. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле

Рис. 4.5

°6. Частица массой m с зарядом q равномерно движется со скоростью, равной по модулю v, по окружности в однородном магнитном поле с индукцией, равной по модулю В. Докажите, что радиус окружности выражается формулой

°7. Докажите, что период обращения частицы при её движении по окружности в однородном магнитном поле выражается формулой

Обратите внимание: период обращения частицы в магнитном юле не зависит от скорости частицы!

8. Протон и электрон движутся с одинаковыми по модулю скоростями по окружностям в одном и том же однородном магнитном поле. Вектор магнитной индукции направлен вверх.

• а) В какой плоскости движутся частицы — в горизонтальной или в вертикальной?
• б) В каком направлении — по часовой стрелке или против неё (если смотреть сверху) движется по окружности: протон; электрон?
• в) Какая частица движется по окружности меньшего радиуса?
• г) Чему равно отношение радиусов окружностей, по которым движутся частицы?
• д) Период обращения какой частицы больше? Во сколько раз?

*4. «Фильтр скоростей»

Силы, действующие на движущуюся заряженную частицу со стороны магнитного и электрического полей, могут взаимно уравновесить друг друга: тогда частица будет двигаться прямолинейно и равномерно. Это используется в приборе, который называют «фильтром скоростей».

9. Заряженная частица влетает в «фильтр скоростей» через отверстие 1, движется прямолинейно и равномерно и вылетает через отверстие 2 (рис. 4.6). Линии напряжённости однородного электрического поля и магнитные линии однородного магнитного поля показаны на рисунке.

• а) Перенесите рисунок в тетрадь и укажите на нём силы, действующие со стороны электрического и магнитного полей на движущуюся в приборе положительно заряженную частицу.
• б) Выразите скорость частицы v через модуль напряжённости электрического поля Е и модуль магнитной индукции В.
• в) Почему данный прибор называют фильтром скоростей?

Рис. 4.6

Похожая задача

10. Заряженная частица с зарядом q, пролетев через «фильтр скоростей», в котором модуль напряжённости электрического поля равен Е, а модуль магнитной индукции равен В₁, влетает в однородное магнитное поле с модулем индукции В₂ и движется в нём по окружности радиуса r.

• а) Выразите модуль скорости частицы через величины, данные в условии.
• б) Выразите массу частицы через величины, данные в условии.

ЧТО МЫ УЗНАЛИ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ¹⁾

Базовый уровень

11. Заряженная пылинка влетает в однородное магнитное поле со скоростью 10 м/с перпендикулярно линиям магнитной индукции. Чему равен заряд пылинки, если на неё действует сила 8 • 10^-7 Н, а модуль магнитной индукции равен 4 мТл?

12. На протон, влетевший в однородное магнитное поле со скоростью 3 • 10⁶ м/с перпендикулярно линиям магнитной индукции, со стороны магнитного поля действует сила 3 • 10^-14 Н. Чему равен модуль магнитной индукции? Какова форма траектории, по которой будет двигаться протон в магнитном поле?

13. Заряженная частица движется в однородном магнитном поле с постоянной по модулю и направлению скоростью. Изобразите на чертеже направления скорости частицы и вектора магнитной индукции данного поля.

14. Перенесите рисунки 4.7, а—е в тетрадь и добавьте недостающие обозначения.

Рис. 4.7

15. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией 2 Тл со скоростью 10⁷ м/с, направленной перпендикулярно линиям магнитной индукции.

• а) С какой силой магнитное поле действует на электрон?
• б) Чему равен модуль ускорения электрона?
• в) Будет ли изменяться модуль скорости электрона при его движении в магнитном поле?

¹⁾ В заданиях к этому параграфу предполагается, что силой тяжести можно пренебречь.

16. В однородном магнитном поле по окружности радиусом 5 см движется протон. Чему равна скорость протона, если индукция магнитного поля равна 60 мТл?

Повышенный уровень

17. В однородное магнитное поле влетают протон и α-частица. Их начальные скорости направлены одинаково, по различаются по модулю. На α-частицу действует в 12 раз большая сила Лоренца, чем на протон. Скорость какой частицы больше и во сколько раз? Масса α-частицы в 4 раза больше массы протона, а её заряд в 2 раза больше заряда протона.

18. На электрон, движущийся со скоростью 5 • 10⁶ м/с в однородном магнитном поле с индукцией 6 мТл, действует сила Лоренца, равная по модулю 4,16 • 10^-15 Н. Какой угол составляет скорость электрона с вектором магнитной индукции?

19. Заряженная частица влетает со скоростью 800 м/с в однородные электрическое и магнитное поля под углом 30° к вектору магнитной индукции. Чему равно отношение силы, действующей на частицу со стороны электрического поля, к силе Лоренца, если напряжённость электрического поля 4 кВ/м, а магнитная индукция 0,5 Тл?

20. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией 20 мТл по окружности радиусом 5 мм. Чему равны:

• а) период обращения электрона;
• б) кинетическая энергия электрона;
• в) сила Лоренца, действующая на электрон со стороны магнитного поля;
• г) ускорение электрона?

22. В однородное магнитное поле влетает электрон со скоростью, направленной перпендикулярно вектору магнитной индукции. За какой наименьший промежуток времени скорость электрона изменит направление на противоположное, если модуль магнитной индукции равен 0,25 мТл?

Высокий уровень

23. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов 4 кВ, влетает в однородное магнитное поле с индукцией 40 мТл перпендикулярно линиям магнитной индукции. Чему равен радиус окружности, по которой будет двигаться электрон?

24. Вектор магнитной индукции однородного магнитного поля перпендикулярен вектору напряжённости однородного электрического поля. Модуль магнитной индукции равен 2 Тл, а напряжённость электрического поля равна 5 • 10⁶ В/м. В некоторый момент скорость электрона направлена вдоль вектора напряжённости электрического поля и равна 1,9 • 10⁶ м/с. Чему равен модуль равнодействующей сил, действующих на электрон со стороны магнитного и электрического полей?

25. В полосе шириной 10 см создано однородное магнитное поле с индукцией 0,51 Тл (рис. 4.8). В эту полосу перпендикулярно ей и вектору магнитной индукции влетает протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов 500 кВ. На какой угол повернётся вектор скорости протона при движении внутри полосы?

Рис. 4.8

Рис. 4.9

27. Пучок протонов влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. Протоны движутся по дуге окружности радиусом 0,1 м и поглощаются металлической пластиной. Какое количество теплоты выделяется при этом за 1 с, если индукция магнитного поля равна 0,2 Тл, а сила тока в пучке 0,2 мА?

ГЛАВНОЕ В ЭТОЙ ГЛАВЕ