Погрешности измерений1)

Оценка погрешностей прямых измерений

Абсолютная погрешность измерения. Так называют модуль отклонения измеренного значения физической величины от её истинного значения. Погрешность бывает систематической (например, погрешность прибора) и случайной (обусловленной различными случайными причинами, действие которых не может быть заранее учтено: например, скачок напряжения в электрической сети во время опыта).

При одиночном измерении учесть случайную погрешность невозможно, поэтому абсолютную погрешность одиночного прямого измерения рассчитывают по формуле

где Δотсчёта — погрешность отсчёта (равная половине цены деления прибора), Δприбора — погрешность прибора (см. таблицы ниже).

1. Запишите абсолютную погрешность прямого измерения толщины h книги с помощью линейки с миллиметровыми делениями.

Запись результата измерения с указанием погрешности и нанесение результата на числовую ось. Если А0 — значение прямого измерения величины А, а ΔА — значение абсолютной погрешности этого измерения, то результат измерения записывают в виде А = А0 ± ΔА. Тогда значение А находится между Amin = А0 - ΔА и Аmах = А0 + ΔΑ.

Результаты измерений с учётом погрешностей откладываются на числовой оси (рис. 1).

Рис. 1

1) В написании этого раздела и подборе тем лабораторных работ принимал участие Г. Г. Никифоров. Полезно посвятить один урок изучению погрешностей измерений непосредственно перед проведением первой лабораторной работы.

2. Найдите значения hmin и hmax при измерении толщины книги (см. задание 1). Нанесите результаты на числовую ось.

Относительная погрешность измерения. Выраженную в процентах относительную погрешность прямых измерений рассчитывают по формуле

Относительная погрешность значительно лучше характеризует точность измерения, чем абсолютная. Например, если длина карандаша и длина комнаты измерены с одной и той же абсолютной погрешностью Δl = 1 см, то измерение длины карандаша нельзя считать достаточно точным, а измерение длины комнаты — можно.

3. Вычислите и сравните относительные погрешности измерений длины карандаша и комнаты с абсолютной погрешностью, равной 1 см, взяв разумные значения длины карандаша и комнаты.

Оценка погрешностей косвенных измерений

Косвенным измерением физической величины A называют такое измерение, при котором значение этой величины находят с помощью вычисления по формуле, в которую входят результаты прямых измерений других физических величин.

4. При косвенном измерении плотности вещества ρ были получены следующие результаты прямых измерений с указанием их погрешностей: m = (53 ± 1) г; V = (20 ± 2) см3.

  • а) Запишите формулу, выражающую ρ через m и V.
  • б) Вычислите ρmin, ρmax, Δρ и ρср.
  • в) Вычислите относительную погрешность измерения плотности.
  • г) Запишите результат измерения с указанием абсолютной и относительной погрешностей.
  • д) Нанесите результат измерения на числовую ось.
  • е) Сделайте вывод: противоречат ли результаты измерений гипотезе о том, что рассматриваемое тело изготовлено из алюминия?

Погрешность многократного прямого измерения

Учесть случайную погрешность можно путём повторных измерений одной и той же величины при одних и тех же условиях. Если результаты повторных измерений некоторой физической величины отличаются друг от друга в пределах абсолютной погрешности одиночного прямого измерения, то погрешность многократного прямого измерения принимают равной погрешности одиночного прямого измерения.

Если же разброс результатов повторных опытов больше, чем погрешность одиночного прямого измерения1), то используют усреднение результатов нескольких опытов. При этом вычисляют сначала среднее арифметическое значение измеряемой величины:

Здесь — число опытов, в которых измеряли данную величину. Погрешность многократного измерения оценивают2) по формуле

За абсолютную погрешность измерения ΔA принимают большую из двух величин: Δ(Aср) и погрешность одиночного прямого измерения. Результат измерения записывают в виде A = Аср ± ΔА.

Погрешности средств измерения

Прибор, инструмент. Цена деления

Погрешность средства измерения

Линейка деревянная со знаком ГОСТ, цена деления 1 мм

0,5 мм

Линейки деревянные и пластмассовые, не имеющие знака ГОСТ, цена деления 1 мм

1 мм

Измерительная лента (портновская), цена деления 5 мм

5 мм

Измерительный цилиндр, цена деления 2 мл

1 мл

Измерительный цилиндр, цена деления 1 мл

0,5 мл

Динамометр, цена деления 0,1 Н

0,05 Н

Термометр лабораторный, цена деления 1 °С

1 °С

1) Это означает, что в данном опыте случайная погрешность играет существенную роль.

2) Для упрощения расчётов мы приводим приближённую формулу оценки погрешности многократного измерения.

Погрешности электроизмерительных приборов

При работе с электроизмерительными приборами погрешность прибора Δприбора определяется формулой

Здесь γ — класс точности прибора, указанный на его шкале (на рисунке 2 класс точности прибора обведён красным кружком).

Рис. 2

5. Найдите погрешность приборов, изображённых на рисунке 2.

Нанесение результатов измерений на координатную плоскость с учётом погрешностей

Для построения графика зависимости одной физической величины от другой в случае, когда обе эти величины измерены с некоторыми погрешностями, результаты измерений наносят на координатную плоскость в виде прямоугольников. На рисунке 3 приведён пример нанесения результатов измерения силы тока и напряжения на координатную плоскость (U, I) (выделенный цветом прямоугольник).

Рис. 3