§ 11. Колебательный контур

1. Свободные электромагнитные колебания

Если соединить конденсатор с катушкой индуктивности, как схематически показано на рисунках 11.1, а—д, то получится устройство, которое называют колебательным контуром, потому что в этом устройстве могут происходить электромагнитные колебания. Они проявляются в том, что заряд на конденсаторе q и сила тока¹⁾ в катушке i изменяются по синусоидальному закону.

Рис. 11.1

Рассмотрим поэтапно, какие явления будут происходить в колебательном контуре, ссылаясь для наглядности на рисунки 11.1, а—д.

• Пусть в начальный момент конденсатор заряжен, а сила тока в катушке равна нулю (рис. 11.1, а).
• Конденсатор начинает разряжаться через катушку, и его заряд уменьшается. Вследствие явления самоиндукции сила тока в катушке увеличивается (по модулю) постепенно. При этом постепенно увеличивается индукция магнитного поля, порождаемого этим током (рис. 11.1, б).
• Когда конденсатор полностью разряжен, сила тока в катушке достигает по модулю максимального значения. Индукция магнитного поля при этом максимальна (рис. 11.1, в).
• Вследствие самоиндукции ток в катушке продолжает течь ещё некоторое время в том же направлении, заряжая конденсатор (рис. 11.1, г), по знаки зарядов обкладок конденсатора будут противоположны первоначальным. Индукция магнитного поля уменьшается.
• Когда напряжение на конденсаторе станет равным по модулю начальному, поменяв знак, сила тока в катушке станет (на мгновение) равной пулю (рис. 11.1, д).

Затем процесс пойдёт в обратном направлении: конденсатор начнёт разряжаться через катушку, при этом направление тока будет противоположным рассмотренному выше. В результате через некоторое время контур вернётся в начальное состояние, после чего весь процесс будет периодически повторяться.

¹⁾ Переменные силу тока и напряжение обозначают малыми буквами і и u.

Описанное рассмотрение показывает, что в контуре будут происходить электромагнитные колебания.

Электромагнитными колебаниями называют периодические изменения значения электрического заряда, силы тока и напряжения в цепи.

°1. Какие превращения энергии происходят при электромагнитных колебаниях в контуре? Какими буквами обозначены состояния контура на рисунке 11.1, в которых максимальна энергия: электрического поля в конденсаторе; магнитного поля в катушке?

°2. Сделайте в тетради схематические рисунки, аналогичные рисункам 11.1, а—д, иллюстрирующие вторую половину периода колебаний в контуре.

Если можно пренебречь потерями энергии, то электромагнитные колебания в контуре будут незатухающими и гармоническими.

На рисунке 11.2 изображён осциллограф — прибор, с помощью которого изучают электромагнитные колебания. На экране осциллографа происходит «временная развёртка» колебаний, то есть изображается график зависимости напряжения от времени.

Рис. 11.2

Далее мы докажем, что колебания заряда конденсатора и силы тока в катушке являются гармоническими, причём период электромагнитных колебаний выражается формулой

где L — индуктивность катушки, С —электроёмкость конденсатора.

В честь английского учёного У. Томсона, который первым вывел эту формулу, её называют формулой Томсона.

°3. Используя выражение для периода электромагнитных колебаний, докажите, что частота ν электромагнитных колебаний выражается формулой

Если в начальный момент конденсатор колебательного контура был заряжен, а сила тока в катушке была равна нулю, то зависимость заряда обкладки конденсатора от времени имеет вид

q = q_mахcosωt,

где циклическая частота ω связана с периодом колебаний Т и их частотой ν уже знакомыми вам соотношениями:

4. Как изменится период электромагнитных колебаний в контуре, если увеличить индуктивность катушки в 2 раза?

°5. Как изменится период электромагнитных колебаний в контуре, если увеличить электроёмкость конденсатора в 4 раза?

°6. Электроёмкость конденсатора контура равна 2 мкФ, а индуктивность катушки равна 2 мГн. Чему равны период и частота электромагнитных колебаний?

°7. Индуктивность катушки колебательного контура равна 2 мкГн. При какой электроёмкости конденсатора период колебаний равен 0,25 мс?

*2. Вывод формулы для периода электромагнитных колебаний

Чтобы вывести формулу для периода электромагнитных колебаний, воспользуемся законом сохранения энергии.

Вспомним выражения для энергии электрического поля в конденсаторе и энергии магнитного поля в катушке:

Здесь q — заряд конденсатора, С — его электроёмкость, і — сила тока в катушке, L — индуктивность катушки.

Суммарная энергия электрического и магнитного полей

сохраняется. Следовательно, её производная по времени равна нулю:

8. Докажите, что из этого уравнения следует:

Полученное соотношение можно переписать в виде уже знакомого вам дифференциального уравнения для гармонических колебаний:

q" = -ω²q,

где ω — циклическая частота колебаний.

9. Докажите, что

10. Докажите, что период и частота электромагнитных колебаний в контуре выражаются формулами:

11. Докажите, что модуль максимального значения силы тока в катушке i_maх связан с модулем максимального значения заряда конденсатора q_max соотношением

i_mах = ωq_mах.

12. Заряд конденсатора колебательного контура достигает при колебаниях максимального значения q_max = 3 мкКл, а сила тока в катушке достигает максимального значения i_max = 6 мА. Электроемкость конденсатора равна 50 мкФ.

• а) Чему равна циклическая частота колебаний?
• б) Чему равен период колебаний?
• в) Чему равна индуктивность катушки?

3. Аналогия между механическими и электромагнитными колебаниями

Как мы видели, механические и электромагнитные колебания описываются по существу одними и теми же уравнениями, несмотря на различную природу механических и электромагнитных явлений.

13. Чтобы провести аналогию между величинами, характеризующими механические и электромагнитные колебания, напишем одно под другим дифференциальные уравнения колебаний пружинного маятника и электромагнитных колебаний:

• а) Какая физическая величина соответствует смещению х в случае электромагнитных колебаний?
• б) Какая физическая величина соответствует скорости ν в случае электромагнитных колебаний?
• в) Какая физическая величина соответствует массе m в случае электромагнитных колебаний?
• г) Какая физическая величина соответствует жесткости пружины k в случае электромагнитных колебаний?
• д) Какая физическая величина соответствует потенциальной энергии упругой деформации пружины в случае электромагнитных колебаний?
• е) Какая физическая величина соответствует кинетической энергии груза в случае электромагнитных колебаний?
• ж) Составьте таблицу соответствия между величинами, характеризующими механические и электромагнитные колебания.
• з) Изобразите в тетради схематически состояния колебательного контура, в которых энергия электрического поля в конденсаторе принимает минимальное и максимальное значения. Изобразите рядом с ними соответствующие состояния пружинного маятника, в которых потенциальная энергия упругой деформации пружины принимает минимальное и максимальное значения.

*4. Вынужденные электромагнитные колебания. Резонанс

Свободные электромагнитные колебания в колебательном контуре не могут продолжаться сами по себе достаточно долго.

Во-первых, сопротивление реальных проводов и катушки не равно нулю, поэтому при протекании тока в них будет выделяться тепло. При этом согласно закону сохранения энергии будет уменьшаться сумма энергий электрического и магнитного полей в конденсаторе и катушке.

Во-вторых, при колебаниях силы тока свободные заряды движутся с ускорением, а движущиеся с ускорением заряженные частицы излучают электромагнитные волны (подробнее об этом мы расскажем далее). Излучаемые электромагнитные волны «уносят» энергию, вследствие чего сумма энергий электрического и магнитного полей в конденсаторе и катушке также уменьшается.

Для того чтобы электромагнитные колебания в контуре продолжались сколь угодно долго, энергетические потери должны компенсироваться, то есть в контур должна поступать энергия извне. Принципиальная схема «подпитки» колебательного контура энергией изображена на рисунке 11.3. Слева на схеме показан источник переменного напряжения регулируемой частоты.

Рис. 11.3

В этом случае в колебательном контуре будут происходить вынужденные колебания с частотой, близкой к частоте внешнего источника напряжения: здесь также имеется аналогия с механическими колебаниями.

Амплитуда вынужденных колебаний зависит от соотношения между частотой внешнего источника ν и собственной частотой контура ν₀. При равенстве этих частот, то есть при ν = ν₀, будет наблюдаться резонанс, то есть резкое увеличение амплитуды колебаний силы тока и напряжения в колебательном контуре.

Напомним, что с подобным явлением резонанса мы уже встречались при рассмотрении механических колебаний.

На практике используют электрические схемы, в которых подпиткой энергии «управляет» сам контур так, что она автоматически осуществляется с частотой, равной собственной частоте колебаний контура. Такие колебания называют автоколебаниями. Далее мы рассмотрим пример автоколебаний.

ЧТО МЫ УЗНАЛИ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ”

Базовый уровень

14. Как изменится период электромагнитных колебаний в контуре (рис. 11.4), если ключ К перевести: из положения 1 в положение 2; из положения 1 в положение 3?

15. Как изменится период электромагнитных колебаний в контуре (рис. 11.5), если ключ К перевести: из положения 1 в положение 2; из положения 1 в положение 3?

Рис. 11.4

Рис. 11.5

¹⁾ При решении задач этого параграфа считайте, что потерями энергии на излучение и нагревание можно пренебречь.

16. Чему равен период колебаний контура, если электроёмкость конденсатора 800 пФ, а индуктивность катушки 2 мкГн?

17. Период колебаний контура равен 0,4 мкс. Чему равны частота колебаний контура, циклическая частота, а также индуктивность катушки, если электроёмкость конденсатора 500 пФ?

18. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 0,4 мГн и конденсатора электроёмкостью 20 пФ. Чему равно максимальное напряжение на обкладках конденсатора, если максимальное значение силы тока в катушке равно 30 мА?

Повышенный уровень

19. В таблице представлены значения заряда одной из обкладок конденсатора колебательного контура в некоторые моменты времени.

t, мкс	0	1	2	3	4	5	6	7	8
q, нКл	2	1,4	0	-1,4	-2	-1,4	0	1,4	2

• а) Чему равен период колебаний контура?
• б) Чему равна амплитуда колебаний заряда конденсатора?
• в) Чему равна амплитуда колебаний силы тока в катушке контура?

20. Период колебаний контура равен 8 мкс, максимальный заряд конденсатора 6 мкКл. Чему равен заряд конденсатора через 2 мкс после момента, когда конденсатор был разряжен?

21. Пространство между обкладками воздушного конденсатора, включённого в колебательный контур, заполнили диэлектриком с диэлектрической проницаемостью, равной 8. Как при этом изменился период электромагнитных колебаний?

22. Индуктивность катушки колебательного контура равна 0,2 Гн, а электроёмкость конденсатора равна 15 мкФ. Чему равно амплитудное значение силы тока в катушке, если при напряжении на конденсаторе 2 В сила тока в катушке равна 20 мА?

23. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 3 Гн и конденсатора электроёмкостью 2 мкФ. Чему равен модуль заряда конденсатора в некоторый момент времени, если сила тока в катушке в этот же момент времени равна 2,4 мА, а максимальный заряд конденсатора равен 6 мкКл?

24. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L и конденсатора электроёмкостью С. В начальный момент сила тока в катушке равна пулю, а напряжение на конденсаторе равно U_max. Чему будет равна сила тока в катушке, когда напряжение на конденсаторе уменьшится вдвое по сравнению с начальным моментом?

Высокий уровень

25. Индуктивность катушки колебательного контура равна 0,2 мГн, а заряд конденсатора изменяется по закону q = 10^-3cos(10 ³t (в единицах СИ). Чему равна полная энергия колебательного контура?

26. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 90 мГн и конденсатора электроёмкостью 4 мкФ. В начальный момент конденсатор заряжен, сила тока в катушке равна пулю. Через какой минимальный промежуток времени после начального момента заряд конденсатора уменьшится в 2 раза?

27. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 80 мГн и конденсатора электроёмкостью 2 мкФ. В начальный момент конденсатор заряжен, сила тока в катушке равна пулю. Через какой минимальный промежуток времени после начального момента энергия электрического поля в конденсаторе станет равной энергии магнитного поля в катушке?

28. Конденсатору электроёмкостью 10 мкФ, соединённому через ключ с катушкой индуктивности, сообщили заряд 1 мКл. После замыкания ключа в контуре возникли затухающие электромагнитные колебания. Чему равно количество теплоты, выделившееся в контуре к моменту, когда максимальное напряжение на конденсаторе уменьшилось в 4 раза по сравнению с начальным моментом? Примите, что затухание колебаний было обусловлено только выделением тепла.

29. Максимальный заряд плоского конденсатора колебательного контура во время колебаний равен 0,2 мкКл. Обкладки конденсатора имеют форму квадратов со стороной 5 мм, расстояние между ними равно 1,5 мм, пространство между обкладками заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью, равной 6. Чему равно максимальное значение энергии магнитного поля в катушке индуктивности?

30. При увеличении электроёмкости конденсатора колебательного контура на 0,3 мкФ частота колебаний в нём уменьшилась в 2 раза. Чему равна электроёмкость конденсатора до и после её увеличения?