§ 10. Энергия механических колебаний. Вынужденные колебания

1. Превращения энергии при свободных гармонических колебаниях

°1. На рисунке 10.1 изображены различные положения колеблющегося груза.

Рис. 10.1

• а) Какими буквами обозначены положения груза, в которых его кинетическая энергия: максимальна; минимальна?
• б) Какими буквами обозначены положения груза, в которых его потенциальная энергия: максимальна; минимальна?
• в) Сколько раз в течение одного периода колебаний кинетическая энергия груза достигает: максимального значения; минимального? Примите, что в начальный момент груз находится не в крайнем положении и не в положении равновесия.
• г) Сколько раз в течение одного периода колебаний потенциальная энергия груза достигает: максимального значения; минимального? Примите, что в начальный момент груз находится не в крайнем положении и не в положении равновесия.

Итак, при колебаниях нитяного маятника происходят периодические превращения потенциальной энергии груза в его кинетическую энергию и обратно.

°2. На рисунке 10.2 изображены различные состояния горизонтального пружинного маятника.

• а) В каком положении (положениях) груза его кинетическая энергия: максимальна; минимальна?
• б) В каком положении потенциальная энергия пружины: максимальна; минимальна?
• в) Сколько раз в течение одного периода колебаний кинетическая энергия груза достигает: максимального значения; минимального? Примите, что в начальный момент груз находится не в крайнем положении и не в положении равновесия.
• г) Сколько раз в течение одного периода колебаний потенциальная энергия пружины достигает: максимального значения; минимального? Примите, что в начальный момент груз находится не в крайнем положении и не в положении равновесия.

Рис. 10.2

Итак, при колебаниях пружинного маятника происходят периодические превращения кинетической энергии груза в потенциальную энергию пружины и обратно.

3. Уравнение гармонических колебаний пружинного маятника имеет вид х =x_maxcosωt.

• а) Запишите формулы, выражающие зависимость потенциальной и кинетической энергий системы «груз + пружина» от времени. Постройте графики этих зависимостей.
• б) Запишите формулу, выражающую зависимость полной энергии системы «груз + пружина» от времени. Постройте график этой зависимости.
• в) Какова циклическая частота изменения: кинетической энергии маятника; потенциальной энергии?
• г) Во сколько раз частота изменения кинетической и потенциальной энергии больше частоты колебаний?

4. Период колебаний горизонтального пружинного маятника 0,8 с. В какие моменты времени в течение первого периода колебаний кинетическая энергия груза равна потенциальной энергии пружины? В начальный момент скорость груза равна пулю.

5. При каком смещении горизонтального пружинного маятника кинетическая энергия груза равна потенциальной энергии пружины? Амплитуда колебаний равна х_mах.

Затухающие колебания

Напомним, что свободными называют колебания, происходящие под действием внутренних сил, то есть сил, действующих между телами системы.

Собственные колебания со временем затухают, то есть их амплитуда уменьшается, поскольку механическая энергия колебательной системы уменьшается вследствие трения или сопротивления среды, которые в той или иной степени присутствуют в любой системе. Но на практике затухающими называют обычно колебания, амплитуда которых заметно уменьшается за время, сравнимое с периодом колебаний. Пример графика зависимости смещения от времени при затухающих колебаниях приведён на рисунке 10.3.

Рис. 10.3

2. Вынужденные колебания

Тело или система тел может совершать колебания не только под действием внутренних сил, по и под действием внешней периодически изменяющейся силы.

Колебания, совершаемые под действием внешней периодически изменяющейся силы, называют вынужденными колебаниями.

Опыт и расчёты показывают, что частота вынужденных колебаний практически совпадает с частотой изменения внешней силы. Этим вынужденные колебания существенно отличаются от свободных колебаний, частота которых определяется параметрами самой колебательной системы (например, длиной нити для нитяного маятника, массой груза и жёсткостью пружины для пружинного маятника).

Частоту свободных колебаний называют собственной частотой и обозначают обычно ν₀.

Резонанс

Опыт показывает, что амплитуда вынужденных колебаний (при одной и той же амплитуде внешней силы) существенно зависит от соотношения между частотой изменения внешней силы v и собственной частотой системыν₀.

На рисунке 10.4 приведён график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты ν внешней силы. Мы видим, что амплитуда вынужденных колебаний максимальна, когда частота внешней силы равна частоте собственных колебаний системы.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний в случае, когда частота внешней силы совпадает с собственной частотой системы, называют резонансом.

°6. Собственная частота колебательной системы равна 2 Гц. При каком периоде колебаний внешней силы амплитуда вынужденных колебаний наибольшая?

Явление резонанса проявляется тем сильнее, чем меньше трение (или сопротивление среды).

°7. На рисунке 10.5 приведены графики зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты для двух аналогичных колебательных систем. В какой системе трение больше?

Рис. 10.4

Рис. 10.5

Явление резонанса используют почти во всех музыкальных инструментах для усиления звука: волшебное «пение» скрипки обусловлено главным образом колебаниями корпуса скрипки, который специально рассчитывают так, чтобы он резонировал при колебаниях струп.

8. Объясните, как надо толкать застрявший на бездорожье автомобиль, чтобы сдвинуть его с места.

Однако явление резонанса может нанести и вред. Например, известны случаи, когда вследствие явления резонанса при сильном ветре разрушались мосты, потому что частота периодических отрывов воздушных вихрей от моста совпадала с собственной частотой колебаний моста.

Явление резонанса следует учитывать при проектировании зданий, станков, приборов, в которых есть вращающиеся или периодически движущиеся части. Например, если частота вращения вала станка окажется близкой к частоте собственных колебаний станка, то это может привести к поломке или разрушению станка.

Чтобы избежать нежелательных проявлений резонанса, изменяют частоту внешней силы или собственную частоту системы. Для уменьшения амплитуды вынужденных колебаний увеличивают силу трения или силу сопротивления.

ЧТО МЫ УЗНАЛИ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Базовый уровень

9. Прикреплённый к пружине шар совершает колебания между точками А и С (рис. 10.6). Точка В соответствует положению равновесия шара. Как изменяются (увеличиваются или уменьшаются) кинетическая энергия шара, модуль его скорости и потенциальная энергия пружины:

• а) при движении шара от точки В к точке С;
• б) при движении шара от точки В к точке А;
• в) при движении шара от точки А к точке В?

Рис. 10.6

10. Сколько раз в течение 16 с кинетическая энергия маятника достигнет наибольшего значения, если частота колебаний равна 0,5 Гц и в начальный момент груз маятника не находится в положении равновесия?

11. Один конец горизонтальной пружины жёсткостью 500 Н/м закреплён, а другой прикреплён к бруску массой 0,2 кг, находящемуся на гладком столе. В начальный момент брусок сдвигают, сжимая пружину, и отпускают без толчка. Какова величина начальной деформации пружины, если максимальная скорость бруска при колебаниях равна 2 м/с?

12. Чему равна максимальная скорость груза массой 4 кг, совершающего колебания на пружине жёсткостью 400 Н/м, если амплитуда колебаний груза равна 10 см?

Повышенный уровень

13. Уравнение гармонических колебаний пружинного маятника имеет вид х = x_maxcosωt. Период колебаний равен 4 с. Через какой минимальный промежуток времени после начального момента потенциальная энергия маятника вернётся к своему начальному значению?

14. Уравнение гармонических колебаний пружинного маятника в единицах СИ имеет вид х = 0,2соs4пt. Масса груза равна 0,5 кг.

• а) Запишите формулы, выражающие в единицах СИ зависимость потенциальной и кинетической энергий колеблющейся системы от времени. Постройте графики этих зависимостей.
• б) Чему равна полная энергия колебательной системы? Постройте график зависимости полной энергии от времени.

15. По графику зависимости амплитуды установившихся колебаний маятника от частоты вынуждающей силы (рис. 10.7) определите:

• а) чему равна собственная частота колебаний маятника;
• б) чему равно отношение максимальной скорости маятника при частоте 0,5 Гц к его максимальной скорости при частоте 2,5 Гц.

Рис. 10.7

Высокий уровень

16. На рисунке 10.8 приведён график зависимости амплитуды установившихся малых колебаний горизонтального пружинного маятника с грузом массой 200 г от частоты вынуждающей силы. Чему равна максимально возможная кинетическая энергия груза?

Рис. 10.8

17. Горизонтальный пружинный маятник с грузом массой 100 г вывели из положения равновесия и отпустили без толчка. Через какой минимальный промежуток времени после этого момента потенциальная энергия пружины станет равна кинетической энергии груза, если жёсткость пружины равна 10 Н/м?

18. Небольшой пластилиновый шарик массой m падает с высоты h на чашу пружинных весов, прилипает к ней и начинает вместе с чашей совершать вертикальные гармонические колебания. Чему равна амплитуда возникших колебаний, если жёсткость пружины весов равна k? Массой чаши можно пренебречь.