§ 32. Применение первого закона термодинамики к газовым процессам

1. Изменение внутренней энергии газа

Для определения эффективности теплового двигателя совершенную двигателем работу сравнивают с количеством теплоты Q, переданной газу при сгорании топлива. При этом используют первый закон термодинамики:

Q = ΔU + A_г,

где ΔU — изменение внутренней энергии газа.

Чтобы определить переданное газу количество теплоты, нужно уметь находить выражения для изменения внутренней энергии газа ΔU и работы газа A_г.

Как вы уже знаете, для одноатомных газов (к их числу относятся все инертные газы) средняя кинетическая энергия молекул выражается формулой

где k — постоянная Больцмана, а Т — абсолютная температура.

°1. Докажите, что внутренняя энергия одноатомного идеального газа выражается формулой

Отсюда следует, что изменение внутренней энергии одноатомного идеального газа при изменении температуры выражается формулой

где ΔΤ— разность конечной и начальной температур газа.

°2. Два моля гелия нагрели на 200 К. Как изменилась внутренняя энергия газа?

° 3. В металлическом баллоне, погружённом в воду с тающим льдом, содержится неон. После того как баллон погрузили в кипяток, внутренняя энергия газа увеличилась на 500 Дж.

• а) Чему равно количество вещества в газе?
• б) Чему равна масса неона?

Из приведённой выше формулы следует, что изменение внутренней энергии данной массы газа зависит только от разности конечной и начальной температур газа и от количества вещества. Однако при решении многих задач требуется найти изменение внутренней энергии данной массы газа при изменении давления и объёма газа.

°4. Докажите, что внутреннюю энергию одноатомного идеального газа можно найти по формуле

Из этой формулы следует, что изменение внутренней энергии одноатомного газа можно выразить формулой

Здесь Δ(pV) — изменение произведения давления газа на его объём. Например, при переходе данной массы газа из состояния 1 в состояние 2

Δ(pV) = p₂V₂ - p₁V₁.

Следовательно, изменение внутренней энергии одноатомного газа

Применим это соотношение к некоторым газовым процессам.

°5. На рисунках 32.1, а—в изображены графики газовых процессов для данной массы одноатомного газа. Чему равно изменение внутренней энергии газа в каждом процессе?

Рис. 32.1

*Внутренняя энергия многоатомного газа

Кинетическая энергия молекулы многоатомногогаза является суммой кинетической энергии поступательного движения молекулы и кинетической энергии её вращательного движения. Расчёт, выходящий за рамки нашего курса, показывает, что средняя кинетическая энергия молекул двухатомного газа (в частности, азота и кислорода, из которых в основном состоит воздух) выражается формулой

6. Чему равна внутренняя энергия U воздуха в комнате площадью S = 20 м² и высотой h = 3 м при температуре t = 20 °С и нормальном атмосферном давлении? На какую высоту можно поднять автомобиль массой 1 т, совершив работу, численно равную этой энергии? Есть ли в условии лишние данные?

Полученный ответ может вас удивить: ведь кажется, что комната пустая!

2. Работа газа

Проще всего найти работу газа при изобарном расширении. Пусть газ изобарно расширяется под поршнем (рис. 32.2). Обозначим давление газа р, а площадь поршня S. Тогда модуль силы давления газа F = pS.

Рис. 32.2

°7. Докажите, что при изобарном расширении работа газа выражается формулой

А_г = р • ΔV.

°8. Докажите, что при изобарном процессе работа газа численно равна площади фигуры под графиком зависимости давления от объёма (рис. 32.3, а).

Рис. 32.3

Покажем, что это замечательное свойство графика зависимости p(V) сохраняется и тогда, когда давление газа изменяется (рис. 32.3, б).

Разобьём мысленно весь процесс расширения газа на последовательность процессов, в каждом из которых давление газа практически по изменяется, — это разбиение обозначено пунктирными линиями на рисунке 32.3, б.

Для каждого процесса из этой последовательности работа газа численно равна площади соответствующей узкой полоски на графике. Л отсюда следует, что вся работа, совершённая газом при расширении, численно равна площади фигуры под графиком зависимости p(V). В школьном курсе рассматриваются задачи, в которых площадь этой фигуры несложно найти: обычно данная фигура является прямоугольником, треугольником или трапецией.

Наше рассмотрение показывает, что для нахождения работы газа удобнее всего использовать график зависимости давления газа от объёма, то есть р(V). Поэтому если в условии задачи приведён график газового процесса в координатах (р, Т) или (V, Т) и требуется найти работу газа, то прежде всего надо изобразить график этого же процесса в координатах (р, V). Рассмотрим пример.

°9. На рисунке 32.4 изображён график зависимости V(T) для v молей одноатомного газа. Изобразите график данного процесса в координатах (р, V) и выразите работу газа через величины, данные в условии и на графике.

10. Данную массу газа переводят из состояния 1 в состояние 2 двумя различными способами: через состояние 3 или через состояние 4 (рис. 32.5).

• а) При каком способе работа газа больше? Во сколько раз больше?
• б) При каком способе изменение внутренней энергии газа больше? Во сколько раз больше?

Рис. 32.4

Рис. 32.5

Похожая задача

11. Данную массу одноатомного газа переводят из состояния 1 в состояние 2 двумя различными способами: а и б (рис. 32.6). При каком способе переданное газу количество теплоты больше? Во сколько раз больше?

На примере двух предыдущих задач мы видели, что при переходе данной массы газа из одного состояния в другое изменение внутренней энергии газа определяется только параметрами начального и конечного состояний, а работа газа зависит также от способа перехода.

Рис. 32.6

3. Циклические процессы

Циклическим процессом или циклом называют газовый процесс, в результате которого газ возвращается в начальное состояние.

Циклические процессы удобнее всего изучать, используя графики зависимости давления от объёма. На рисунке 32.7 приведён пример графика циклического процесса.

При переходе из состояния 1 в состояние 2 (эта часть графика изображена красным) газ расширялся и, следовательно, совершал положительную работу А_г. Эта работа численно равна площади фигуры под данной частью графика (рис. 32.8).

При переходе же из состояния 2 в состояние 1 (эта часть графика изображена сипим) газ сжимался — при этом работу совершали внешние силы. Напомним, что при сжатии газа внешними силами площадь фигуры под графиком зависимости p(V) равна работе внешних сил А_внеш (рис. 32.9).

Полезной работой газа А_пол называют разность работы газа и работы внешних сил:

А_пол = А_г - А_внеш.

Отсюда следует, что полезная работа газа за цикл численно равна площади фигуры, заключённой внутри цикла в координатах (р, V). Эта фигура выделена цветом на рисунке 32.10.

Рассмотрим примеры нахождения работы газа в циклическом процессе.

12. На рисунке 32.11 изображён график циклического процесса с данной массой одноатомного газа, состоящий из этапов а, b, с,d.

• а) На каких этапах внутренняя энергия газа увеличивалась, а на каких — уменьшалась?
• б) На каком этапе газ совершал положительную работу?
• в) На каком этапе положительную работу совершали внешние силы?

Рис. 32.7

Рис. 32.8

Рис. 32.9

Рис. 32.10

Рис. 32.11

• г) На каких этапах газ получал некоторое количество теплоты, а на каких — отдавал?
• д) Выразите полезную работу газа за цикл через приведённые на рисунке значения давления и объема.

Похожие задачи

13. На рисунке 32.12 изображён график циклического процесса с данной массой газа, состоящий из трёх этапов. Среди этих этапов есть изотермический и адиабатный процессы.

Рис. 32.12

• а) Какой этап представляет собой изотермический процесс, а какой — адиабатный?
• б) На каких этапах работа газа положительна, а на каких — отрицательна (то есть положительную работу совершают внешние силы)?
• в) На каких этапах газ получает некоторое количество теплоты, а на каких — отдаёт?

14. Рассмотрим циклический процесс, происходящий с данной массой одноатомного газа (рис. 32.12). Среди этих этапов есть изотермический и адиабатный процессы. Обозначим ν количество вещества в газе, Т₁, Т₂ и Т₃— значения его абсолютной температуры соответственно в состояниях 1, 2, 3.

• а) Есть ли среди значений Т₁, Т₂ и Т₃ одинаковые?
• б) Выразите работу газа в изобарном процессе через величины, приведённые в условии.
• в) Выразите изменение внутренней энергии газа в изобарном процессе через величины, приведённые в условии.
• г) Выразите количество теплоты, полученное газом в изобарном процессе, через величины, приведённые в условии.
• д) Выразите работу газа в адиабатном процессе через величины, приведённые в условии.
• е) Как связано количество теплоты, отданное газом в изотермическом процессе, с работой внешних сил над газом?

ЧТО МЫ УЗНАЛИ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Базовый уровень

15. Внутренняя энергия данной массы одноатомного газа, находящегося в сосуде объёмом 4 л, равна 1,5 кДж. Чему равно давление в сосуде?

16. Насколько изменилась внутренняя энергия данной массы одноатомного газа, содержащегося в сосуде объёмом 10 л, когда давление газа увеличилось на 50 кПа?

17. По графикам зависимости давления данной массы газа от его объёма (рис. 32.13, а—в) найдите, чему равна работа газа в каждом случае.

Рис. 32.13

18. Пять молей одноатомного газа, находящегося в закрытом стеклянном сосуде, нагрели на 20 К. Какое количество теплоты получил газ?

19. Как изменилась температура пяти молей одноатомного газа, находящегося в закрытом металлическом сосуде, когда газу передали количество теплоты, равное 5 кДж?

Повышенный уровень

20. В закрытом сосуде содержится 5 г гелия и 30 г аргона при температуре 300 К. Чему равна внутренняя энергия смеси газов?

21. На сколько процентов увеличится внутренняя энергия данной массы одноатомного газа, если его температуру увеличить от 0 °С до 127 °С?

22. Чему равна концентрация молекул одноатомного газа, находящегося в сосуде объемом 5 л при температуре 27 °С, если внутренняя энергия газа равна 300 Дж?

23. Чему равна работа газа в процессах, графики которых изображены на рисунках 32.14, а—е?

Рис. 32.14

24. Для данной массы газа график зависимости давления газа от его объёма представляет собой отрезок прямой. Чему равна работа газа, если при увеличении объёма от 3 л до 6 л давление газа уменьшилось от 300 кПа до 100 кПа?

Высокий уровень

25. Объём газа массой 20 г при изобарном расширении увеличился в 4 раза, при этом газ совершил работу 6,23 кДж. Какой это может быть газ, если его начальная температура равна 127 °С?

26. Начальная температура одного моля одноатомного газа равна 300 К. Насколько изменилась внутренняя энергия газа, если состояние газа изменялось по закону p³V = const, а его объём увеличился в 8 раз?

27. Внутренняя энергия данной массы одноатомного газа при изохорном охлаждении уменьшилась на 120 кДж. Какое количество теплоты надо сообщить газу для последующего изобарного нагревания до начальной температуры?

28. Какое количество теплоты получили 2 моля одноатомного газа в процессе 2—3 (рис. 32.15), если начальная температура газа равна 400 К?

29. Какое количество теплоты получили 4 моля одноатомного газа в результате изобарного нагревания и последующего изохорного нагревания, если в результате этих процессов как объём, так и давление газа увеличились в 3 раза, а начальная температура газа была равна 100 К?

30. Одноатомный газ сжимают сначала адиабатно, а затем изобарно так, что конечная температура газа равна начальной (рис. 32.16). Чему равна работа внешних сил в процессе 2—3, если при адиабатном сжатии внешние силы совершили работу, равную 6 кДж?

Рис. 32.15

Рис. 32.16

31. В сосуде под поршнем содержится насыщенный водяной пар при температуре 80 °С. Чему равна работа пара, если при медленном вдвигании поршня в сосуде образовался 1 г воды, а температура содержимого сосуда не изменилась?