1. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа
Движущиеся хаотически молекулы газа сталкиваются не только друг с другом, но и со стенками содержащего газ сосуда.
Поставим опыт
Если сыпать на лист топкого картона песок, то лист будет оставаться постоянно согнутым, будто на него действует постоянная сила, хотя его деформация обусловлена ударами отдельных песчинок (рис. 28.1).
Этот опыт позволяет наглядно представить, как частые удары молекул газа о стенку сосуда создают постоянное давление на неё.
Рис. 28.1
Идеальный газ. Чтобы выразить давление газа (макроскопическую величину) через величины, характеризующие молекулы газа и их движение (микроскопические величины), учёные воспользовались моделью реального газа, в которой пренебрегают объёмом молекул газа и их взаимодействием между столкновениями. Эту модель реального газа называют идеальным газом. Сравнение с опытом показало, что эта модель хорошо описывает реальные газы, если они являются достаточно разрежёнными.
основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа:
Вывод этого уравнения мы приведём далее.
°2. В сосуде объёмом 20 л содержится 1 моль неона при нормальном атмосферном давлении.
2. Связь между температурой и средней кинетической энергией молекул
Запишем рядом две формулы для давления газа (вторая формула была получена в предыдущем параграфе):
°3. Используя эти две формулы, докажите, что
средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа связана с его абсолютной температурой соотношением
Это соотношение раскрывает физический смысл абсолютной температуры:
абсолютная температура является мерой средней кинетической энергии движения молекул.
Из предыдущего уравнения следует, что средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа зависит только от абсолютной температуры газа.
1) Если молекула состоит более чем из одного атома, у неё есть также кинетическая энергия вращательного движения. Расчёт, выходящий за рамки нашего курса, показывает, что при нахождении давления газа её учитывать не нужно. Далее под кинетической энергий молекул понимается обычно кинетическая энергия поступательного движения (если иное не оговорено).
Например, молекулы кислорода и водорода при одинаковой температуре имеют одинаковые средние кинетические энергии поступательного движения.
°4. В сосуде содержится смесь аргона и неона. Чему равна средняя кинетическая энергия молекул1) этих газов при нормальных условиях? Есть ли в условии лишние данные?
3. Скорости молекул
° 5. Используя основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа, а также уравнение р = nkT, докажите, что
°6. Используя формулу, выведенную в предыдущем задании, определение газовой постоянной R, а также формулу, связывающую молярную массу М с массой одной молекулы m0, докажите, что среднеквадратичную скорость молекул можно выразить формулой
°7. В различных сосудах при одинаковой температуре содержатся водород, кислород и радон. Среднеквадратичные скорости молекул какого газа: наибольшие; наименьшие? Чему они равны при 20 °С?
Ответ этой задачи может показаться удивительным: молекулы газов движутся со скоростями артиллерийских снарядов! Ниже мы расскажем об опыте, который подтверждает это.
°8. Выразите среднеквадратичную скорость молекул через давление газа и его плотность.
°9. В сосуде находится 30 г газа при нормальных условиях. Объём сосуда 5 л. Чему равна среднеквадратичная скорость молекул газа? Есть ли в условии лишние данные?
1) Это одноатомные молекулы, поэтому их кинетическая энергия — это кинетическая энергия только поступательного движения.
Измерение скоростей молекул
В начале 20-го века немецкий физик О. Штерн впервые измерил скорости молекул на опыте. Вдоль оси двух соединённых цилиндров А и В он поместил покрытую серебром проволоку (рис. 28.2). В цилиндре А была прорезана узкая вертикальная щель. Воздух из системы был откачан.
Когда проволоку нагревали электрическим током, атомы серебра испарялись и вылетали через узкую щель, вследствие чего напротив щели на внутренней поверхности цилиндра В появлялась узкая серебристая полоса 1.
Когда соединённые цилиндры приводили во вращение с большой частотой вокруг их общей оси, вместо узкой полосы 1 появлялась широкая и к тому же смещённая относительно щели полоса 2.
Рис. 28.2
°10. Почему полоса смещалась при вращении цилиндров?
°11. Почему полоса при этом расширялась?
*4. Вывод основного уравнения молекулярно-кинетической теории идеального газа
Давление газа на стенку сосуда площадью S выражается формулой
где F — модуль силы давления газа на стенку.
Поскольку давление газа на стенку сосуда обусловлено ударами молекул газа, согласно второму закону Ньютона в импульсной форме
где Δр — модуль импульса, переданного молекулами газа стенке за промежуток времени Δt.
Переданный молекулами стенке за этот промежуток времени импульс равен произведению числа столкновений Ζ молекул со стенкой на средний импульс Δp1, переданный одной молекулой:
Δр = Ζ • Δр1.
Направим ось х к стенке сосуда (рис. 28.3) и предположим на время, что проекции скоростей всех молекул на ось х равны и положительны (в дальнейшем мы рассмотрим общий случай).
Тогда за малый промежуток времени Δt молекулы пролетают по направлению к стенке расстояние vxΔt. Следовательно, за этот промежуток времени со стенкой столкнутся все молекулы, находящиеся не дальше этого расстояния от стенки сосуда.
12. Докажите, что число молекул N в слое толщиной vxΔt вблизи стенки выражается формулой N = nSvxΔt, где n — концентрация молекул.
13. Учитывая, что на самом деле только половина молекул летит по направлению к стенке (другая половина летит от стенки), докажите, что число ударов молекул о стенку за время Δt выражается формулой
Рис. 28.3
Если стенка неподвижна и суммарная энергия молекул не изменяется, то столкновение молекулы со стенкой является упругим, то есть в результате удара модуль скорости молекулы не изменяется.
14. Докажите, что модуль импульса, переданного стенке одной молекулой, выражается формулой
Δp1 = 2m0vx.
Подставляя последние два выражения в формулу Δp = Ζ • Δp1, получаем:
В эту формулу входит среднее значение квадрата скорости, потому что молекулы на самом деле движутся с разными скоростями.
Осталось учесть, что на самом деле все направления скоростей молекул газа равновероятны.
Квадрат скорости молекулы выражается через квадраты проекций скорости следующей формулой (обобщение теоремы Пифагора на трёхмерный случай):
v2 = v2x +v2y + v2z.
Так как все направления скоростей молекул равновероятны,
Из двух последних формул получаем:
15. Как изменилось бы давление газа на стенку сосуда, если бы она поглощала все налетающие на неё молекулы?
ЧТО МЫ УЗНАЛИ
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Базовый уровень
16. Как изменится давление газа:
17. Средняя кинетическая энергия молекул газа увеличилась в 2 раза. Чему стала равна абсолютная температура газа, если его начальная температура была равна 200 К?
18. Плотность газа 1,2 кг/м3, а среднеквадратичная скорость его молекул 600 м/с. Чему равно давление газа?
19. Чему равна среднеквадратичная скорость молекул газа, находящегося в сосуде объёмом 3 м3, если масса газа равна 2 кг, а давление в сосуде равно 200 кПа?
20. Как изменится кинетическая энергия поступательного движения молекул и среднеквадратичная скорость их движения, если газ нагреть от 27 °С до 627 °С?
Повышенный уровень
21. Сколько молекул газа содержится в сосуде объёмом 2 л при нормальном атмосферном давлении, если средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул равна 1,5 • 10-19 Дж?
22. Чему равна концентрация молекул кислорода при давлении 2 • 105 Па, если среднеквадратичная скорость поступательного движения молекул равна 700 м/с?
23. В одном сосуде находится гелий при температуре 300 К, а в другом — неон при температуре 600 К.
24. В открытом сосуде находится воздух. Как изменятся при увеличении его абсолютной температуры на 25 %:
Высокий уровень
25. В баллоне с очень малым отверстием постоянно поддерживается температура воздуха Τ1. Температура окружающего воздуха равна Т2, а его давление равно р2. Чему равно давление воздуха в баллоне?
26. Чему равна начальная температура газа, если при его нагревании на 150 К среднеквадратичная скорость движения молекул увеличилась от 500 м/с до 600 м/с?
27. В баллоне находится смесь двух инертных газов общей массой 6 г. Среднеквадратичная скорость молекул первого газа в 3,16 раза больше среднеквадратичной скорости молекул второго газа, а суммарная кинетическая энергия молекул первого газа в 2 раза больше суммарной кинетической энергии второго газа.