Замечательное общее свойство механических и электромагнитных колебаний, имеющих различную физическую природу, состоит в том, что они описываются одинаковыми уравнениями.
Механические колебания порождают механические волны, которые распространяются в материальной среде, а электромагнитные колебания порождают электромагнитные волны, которые могут распространяться и в вакууме.
1. Условия существования свободных колебаний
Механические колебания вы уже изучали в основной школе. Напомним, что
механическими колебаниями называют периодическое или почти периодическое движение тела.
Поставим опыты
На рисунке 7.1 изображены различные положения нитяного маятника — подвешенного на нити колеблющегося груза.
Рис. 7.1
Обратите внимание: при колебаниях груз отклоняется то в одну, то в другую сторону от положения устойчивого равновесия. Рисунки, на которых показано устойчивое положение груза, обведены рамками.
Подвешенный на пружине груз (пружинный маятник) также колеблется около положения устойчивого равновесия, совершая вертикальные колебания (рис. 7.2). Рисунки, на которых показано устойчивое положение груза, обведены рамками.
Рис. 7.2
Колебания груза маятников обусловлены тем, что при отклонении от положения устойчивого равновесия равнодействующая приложенных к грузу сил стремится вернуть его в положение равновесия.
1. Какие силы действуют на груз, подвешенный на нити? Сделайте рисунок, поясняющий, почему при отклонении груза от положения равновесия равнодействующая приложенных к нему сил стремится вернуть груз в положение равновесия.
2. Какие силы действуют на груз, подвешенный на пружине? Сделайте рисунок, поясняющий, почему при отклонении груза от положения равновесия равнодействующая приложенных к нему сил стремится вернуть груз в положение равновесия.
В рассмотренных примерах грузы возвращаются в положение равновесия под действием сил, действующих между телами системы1).
Силы, действующие между телами системы, называют внутренними, а колебания, происходящие под действием внутренних сил системы, называют свободными. Рассмотренные примеры показывают, что
свободные колебания могут происходить в системе тел, когда она находится вблизи положения устойчивого равновесия. Свободные колебания обусловлены тем, что при отклонении тел от положения устойчивого равновесия возникают силы, которые стремятся вернуть тела в положение равновесия. Такие силы называют возвращающими.
Итак, первым условием существования свободных колебаний является наличие возвращающей силы.
1) В число этих тел в рассмотренных примерах входит и Земля, потому что на груз действует сила тяжести.
Если повторить опыты с нитяным и пружинным маятниками, погрузив их в воду, то мы обнаружим, что колебания очень быстро затухают. Причиной быстрого затухания колебаний является сопротивление среды (воды). Свободные колебания быстро затухают также при наличии значительных сил трения скольжения. Итак,
чтобы свободные колебания продолжались длительное время, силы трения скольжения или силы сопротивления в системе должны быть достаточно малыми.
Это — второе условие существования свободных колебаний.
3. Если нажать сверху вниз на плавающий в воде деревянный брусок, а потом отпустить его, то он начнёт совершать вертикальные колебания. Сделайте в тетради рисунок, поясняющий, равнодействующая каких сил стремится вернуть брусок в положение устойчивого равновесия.
2. Основные характеристики колебаний
Будем обозначать х смещение колеблющегося тела от его положения равновесия. Поскольку тело смещается от положения равновесия то в одну, то в другую сторону, в процессе колебаний величина х принимает то положительные, то отрицательные значения.
Модуль наибольшего смещения от положения равновесия называют амплитудой колебаний.
Будем обозначать амплитуду колебаний xmах.
Промежуток времени, в течение которого происходит одно колебание, называют периодом колебаний Т.
В СИ период измеряют в секундах.
Одно полное колебание происходит, например, когда тело, начав движение из одного крайнего положения, возвращается в то же самое крайнее положение.
4. Рассмотрите снова рисунки 7.1 и 7.2.
5. Сколько раз груз проходит через положение равновесия за промежуток времени, равный одному периоду колебаний, если в начальный момент груз не находился в положении равновесия?
6. Какая часть периода колебаний проходит между двумя последовательными прохождениями грузом положения равновесия?
7. Чем отличаются состояния колеблющегося тела при двух последовательных прохождениях положения равновесия?
8. Амплитуда вертикальных колебаний груза на пружине равна 2 см. В начальный момент груз находится в одном из крайних положений. Какой путь проходит груз: за один период колебаний; за три периода колебаний?
Число колебаний за одну секунду называют частотой колебаний v.
Частоте 1 Гц соответствует одно колебание в секунду. Частота колебаний не обязательно является целым числом.
9. Чему равна частота колебаний, если период колебаний равен: 1 с; 0,5 с; 2 с?
10. Докажите, что частота и период колебаний связаны соотношением
11. Подвешенный на пружине груз совершает колебания с амплитудой 2 см и частотой 5 Гц.
3. Гармонические колебания
Поставим опыт
На рисунке 7.3 изображён опыт, в котором колеблющийся груз (конический сосуд, из которого высыпается песок) сам «рисует» график зависимости своей координаты от времени при равномерном перемещении листа картона или пластика под грузом.
Опыт показывает, что этот график похож на синусоиду или косинусоиду.
Колебания, при которых смещение тела от положения равновесия изменяется по закону синуса (или косинуса), называют гармоническими.
Рис. 7.3
1) Единица измерения частоты названа в честь немецкого физика Г. Герца.
Уравнение гармонических колебаний
Пусть в начальный момент смещение колеблющегося тела от положения равновесия максимально и положительно. В таком случае уравнение гармонических колебаний имеет вид
x = xmaxcosωt.
12. Выясним, как связаны величины, входящие в формулу х = xmaxcosωt, с основными характеристиками колебаний.
13. Уравнение гармонических колебаний в единицах СИ имеет вид х = 0,05cos10t.
14. На рисунке 7.4 изображён график гармонических колебаний.
15. Изобразите в тетради графики двух гармонических колебаний с одинаковой амплитудой, но разными периодами.
16. Изобразите в тетради графики двух гармонических колебаний с разными амплитудами, но одинаковой частотой.
Рис. 7.4
17. Чему равны амплитуда, период, частота и циклическая частота колебаний, графики которых изображены на рисунке 7.5? Запишите уравнение каждого колебания в единицах СИ.
Рис. 7.5
18. Два маятника за один и тот же промежуток времени совершили целое число колебаний каждый. Груз первого маятника прошёл путь 15 м, а груз второго — 5 м. Чем различаются колебания маятников, если периоды их колебаний равны?
19. Два маятника за один и тот же промежуток времени совершили целое число колебаний каждый. Груз первого маятника прошёл путь 8 м, а груз второго — 12 м. Чем различаются колебания маятников, если амплитуды их колебаний равны?
4. Пружинный маятник
Пружинный маятник характеризуется массой груза m и жёсткостью пружины k. Обычно предполагается, что массой пружины можно пренебречь.
Период Т колебаний пружинного маятника выражается формулой
20. Используя последнюю формулу, докажите, что частота колебаний v пружинного маятника выражается формулой
21. Груз пружинного маятника заменили другим грузом, масса которого в 4 раза больше. Как изменился период колебаний?
22. Пружину маятника заменили другой пружиной, жёсткость которой в 2 раза больше. Как изменилась частота колебаний?
5. Математический маятник
Математическим маятником называют модель нитяного маятника, у которого размеры груза намного меньше длины нити, нить можно считать нерастяжимой, а её массой можно пренебречь.
Колебания математического маятника называют малыми, если амплитуда колебаний намного меньше длины нити.
Период малых колебаний математического маятника выражается формулой
где l — длина нити, g — ускорение свободного падения.
Обратите внимание: период колебаний математического маятника зависит только от длины нити и не зависит от массы груза.
23. Колеблющийся на нити небольшой грузик проходит положение равновесия с интервалом 1 с.
Эта задача подсказывает, как сделать простейший самодельный секундомер в домашних условиях. Попробуйте его сделать.
ЧТО МЫ УЗНАЛИ
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
24. Чему равны период и частота колебаний маятника, совершающего 20 колебаний за 25 с?
25. В таблице представлены значения координаты тела, колеблющегося вдоль оси х, в различные моменты времени. Чему равны амплитуда и период колебаний?
|
t, с |
0 |
0,5 |
1,0 |
1,5 |
2 |
2,5 |
3,0 |
3,5 |
|
x, мм |
0 |
8,5 |
12 |
8,5 |
0 |
-8,5 |
-12 |
-8,5 |
26. Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой 1 мм и частотой 1 кГц. Найдите путь, пройденный этой точкой за 1 с.
27. Подвешенный на нити груз колеблется с периодом 4 с и амплитудой 2 см. В начальный момент скорость груза равна нулю. Чему равен путь, пройденный грузом за 5 с после начального момента?
29. На рисунке 7.6 изображён график зависимости смещения от времени для тела, которое совершает гармонические колебания. Укажите, чему равны амплитуда, период и частота колебаний тела. Запишите уравнение гармонических колебаний в единицах СИ.
Рис. 7.6
30. Пружинный маятник совершает колебания с периодом 0,4 с. Чему будет равен период колебаний, если массу груза увеличить в 2 раза, а пружину заменить другой, жёсткость которой в 2 раза меньше?
31. Чему равна жёсткость пружины, если прикреплённый к ней груз массой 200 г совершает 10 колебаний за 5 с?
32. Груз какой массы надо подвесить к пружине жёсткостью 100 Н/м, чтобы этот пружинный маятник совершал колебания с частотой 2 Гц?
33. Как изменится период колебаний нитяного маятника, если:
34. Какова длина нити нитяного маятника, который совершал бы на Луне колебания с периодом 5 с? Ускорение свободного падения на Луне равно 1,6 м/с2.