Погрешности измерений¹⁾

Оценка погрешностей прямых измерений

Абсолютная погрешность измерения. Так называют модуль отклонения измеренного значения физической величины от её истинного значения. Погрешность бывает систематической (например, погрешность прибора) и случайной (обусловленной различными случайными причинами, действие которых не может быть заранее учтено: например, скачок напряжения в электрической сети во время опыта).

При одиночном измерении учесть случайную погрешность невозможно, поэтому абсолютную погрешность одиночного прямого измерения рассчитывают по формуле

где Δ_{отсчёта} — погрешность отсчёта (равная половине цены деления прибора), Δ_{прибора} — погрешность прибора (см. таблицы ниже).

1. Запишите абсолютную погрешность прямого измерения толщины h книги с помощью линейки с миллиметровыми делениями. Запись результата измерения с указанием погрешности и нанесение результата на числовую ось. Если А₀ — значение прямого измерения величины А, а ΔА — значение абсолютной погрешности этого измерения, то результат измерения записывают в виде А = Α₀± ΔА. Тогда значение А находится между А_min = A₀ - ΔA и А_maх = A₀ + ΔA.

Результаты измерений с учётом погрешностей откладываются на числовой оси (рис. 1).

Рис. 1

¹⁾ В написании этого раздела и подборе тем лабораторных работ принимал участие Г. Г. Никифоров. Полезно посвятить один урок изучению погрешностей измерений непосредственно перед проведением первой лабораторной работы.

2. Найдите значения h_min и h_mах при измерении толщины книги (см. задание 1). Нанесите результаты на числовую ось.

Относительная погрешность измерения. Выраженную в процентах относительную погрешность прямых измерений рассчитывают по формуле

Относительная погрешность значительно лучше характеризует точность измерения, чем абсолютная. Например, если длина карандаша и длина комнаты измерены с одной и той же абсолютной погрешностью Δl = 1 см, то измерение длины карандаша нельзя считать достаточно точным, а измерение длины комнаты — можно.

3. Вычислите и сравните относительные погрешности измерений длины карандаша и комнаты с абсолютной погрешностью, равной 1 см, взяв разумные значения длины карандаша и комнаты.

Оценка погрешностей косвенных измерений

Косвенным измерением физической величины A называют такое измерение, при котором значение этой величины находят с помощью вычисления по формуле, в которую входят результаты прямых измерений других физических величин.

4. При косвенном измерении плотности вещества р были получены следующие результаты прямых измерений с указанием их погрешностей: m = (53 ± 1) г; V = (20 ± 2) см³.

• а) Запишите формулу, выражающую ρ через m и V.
• б) Вычислите ρ_min, ρ_mах, Δρ и ρ_ср.
• в) Вычислите относительную погрешность измерения плотности.
• г) Запишите результат измерения с указанием абсолютной и относительной погрешностей.
• д) Нанесите результат измерения на числовую ось.
• е) Сделайте вывод: противоречат ли результаты измерений гипотезе о том, что рассматриваемое тело изготовлено из алюминия?

Погрешность многократного прямого измерения

Учесть случайную погрешность можно путём повторных измерений одной и той же величины при одних и тех же условиях. Если результаты повторных измерений некоторой физической величины отличаются друг от друга в пределах абсолютной погрешности одиночного прямого измерения, то погрешность многократного прямого измерения принимают равной погрешности одиночного прямого измерения.

Если же разброс результатов повторных опытов больше, чем погрешность одиночного прямого измерения¹⁾, то используют усреднение результатов нескольких опытов. При этом вычисляют сначала среднее арифметическое значение измеряемой величины:

Здесь N — число опытов, в которых измеряли данную величину. Погрешность многократного измерения оценивают²⁾ по формуле

За абсолютную погрешность измерения ΔА принимают большую из двух величин: Δ(A_cp) и погрешность одиночного прямого измерения. Результат измерения записывают в виде А = А_ср ± ΔА.

Погрешности средств измерения

Прибор, инструмент. Цена деления	Погрешность средства измерения
Линейка деревянная со знаком ГОСТ, цена деления 1 мм	0,5 мм
Линейки деревянные и пластмассовые, не имеющие знака ГОСТ, цена деления 1 мм	1 мм
Измерительная лента (портновская), цена деления 5 мм	5 мм
Измерительный цилиндр, цена деления 2 мл	1 мл
Измерительный цилиндр, цена деления 1 мл	0,5 мл
Динамометр, цена деления 0,1 Н	0,05 Н
Термометр лабораторный, цена деления 1 °С	1 °С

¹⁾ Это означает, что в данном опыте случайная погрешность играет существенную роль.

²⁾ Для упрощения расчётов мы приводим приближённую формулу оценки погрешности многократного измерения.

Погрешности электроизмерительных приборов

При работе с электроизмерительными приборами погрешность прибора Δ_{прибора} определяется формулой

Здесь γ — класс точности прибора, указанный на его шкале (на рисунке 2 класс точности прибора обведён красным кружком).

Рис. 2

5. Найдите погрешность приборов, изображённых на рисунке 2.

Нанесение результатов измерений на координатную плоскость с учётом погрешностей

Для построения графика зависимости одной физической величины от другой в случае, когда обе эти величины измерены с некоторыми погрешностями, результаты измерений наносят на координатную плоскость в виде прямоугольников. На рисунке 3 приведён пример нанесения результатов измерения силы тока и напряжения на координатную плоскость (U, I) (выделенный цветом прямоугольник).

Рис. 3